Page 41 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 31 — #35
i i

5. VARIABLES ALEATORIAS 31

variables aleatorias no es completa pues existen variables que no son de ninguno de
los dos tipos mencionados. Sin embargo, por simplicidad, en este curso estudiaremos
´ unicamente variables aleatorias que son discretas o continuas.
EJEMPLO 1.41. Las variables X y Y definidas l´ ıneas arriba en el ejemplo del
lanzamiento de una moneda, son variables aleatorias discretas. En ese ejemplo el
espacio muestral mismo es discreto y por lo tanto las variables aleatorias que pueden
all´ ı definirse tienen que ser discretas forzosamente. En el ejemplo del lanzamiento
de un dardo en un tablero circular de radio uno, el espacio muestral (Figura 1.15) es
infinito no numerable, las variables X; Y; Z; V y W definidas all´ ı son todas variables
aleatorias continuas. Si se dibujan c´ ırculos conc´ entricos alrededor del origen y si se
asignan premios asociados a cada una de las regiones resultantes, puede obtenerse un
ejemplo de una variable aleatoria discreta sobre este espacio muestral.
EJEMPLO 1.42. Un experimento aleatorio consiste en escoger a una persona !
al azar. La variable aleatoria X evaluada en ! corresponde a conocer la siguiente
caracter´ ıstica o una codificaci´ on de esta caracter´ ıstica de la persona escogida. En cada
caso se trata de una variable aleatoria discreta:
a) Edad en a˜ nos.
b) N´ umero de hijos.
c) Peso.
d) Estatura.
e) Sueldo.

Eventos y variables aleatorias
En lo sucesivo emplearemos la siguiente notaci´ on importante: si A es un subconjunto
de R, entonces la expresi´ on .X 2 A/, incluyendo el par´ entesis, denota el conjunto
f! 2 ˝ W X.!/ 2 Ag, es decir,
.X 2 A/ D f! 2 ˝ W X.!/ 2 Ag:

En palabras, la expresi´ on .X 2 A/ denota aquel conjunto de elementos ! del espacio
muestral ˝ tales que bajo la aplicaci´ on de la funci´ on X toman un valor dentro del
conjunto A. A este conjunto se le llama la imagen inversa de A y se le denota por
X 1 A, lo cual no debe confundirse con la funci´ on inversa. Por ejemplo, consideremos
que el conjunto A es el intervalo .a; b/, entonces el evento .X 2 .a; b// tambi´ en puede
escribirse como .a < X < b/ y ambos son una abreviaci´ on del evento
f ! 2 ˝ W a < X.!/ < b g:

Como otro ejemplo que ser´ a de nuestro inter´ es m´ as adelante, considere que el conjunto
A es el intervalo infinito .1; x para alguna x en R. Entonces el evento .X 2
.1; x/ tambi´ en puede escribirse como .X x/ y significan
f ! 2 ˝ W 1 < X.!/ x g:

i i

i i