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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 32 — #36
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32 1. PROBABILIDAD

El siguiente ejemplo muestra casos concretos de uso de esta notaci´ on para denotar
eventos junto con sus respectivas probabilidades.
EJEMPLO 1.43. Consideremos nuevamente el experimento de lanzar una moneda
y la variable aleatoria X que lleva el resultado “Cara” al valor 0 y el resultado “Cruz”
al valor 1. Tenemos por ejemplo que .X 2 Œ1; 1// D f“Cruz”g pues el conjunto de
elementos de ˝ tales que bajo la funci´ on X toman un valor mayor o igual a uno, es
decir, caen dentro del intervalo Œ1; 1/, es ´ unicamente el elemento “Cruz”. Por lo tanto
P.X 2 Œ1; 1// D P f“Cruz”g D 1=2. Del mismo modo puede verificarse que
a) P.X 2 Œ1; 2// D P.f“Cruz”g/ D 1=2.
b) P.X 2 Œ0; 1// D P.f“Cara”g/ D 1=2.
c) P.X 2 Œ2; 4/ D P.;/ D 0.
d) P.X D 1/ D P.f“Cruz”g/ D 1=2.
e) P.X 1/ D P.;/ D 0.
f) P.X 0/ D P.˝/ D 1.
En lo que resta del curso se usar´ a con mucha frecuencia la notaci´ on arriba explicada.
El lector debe asegurarse de comprender bien que si x es un n´ umero real entonces
.X x/ es un subconjunto de ˝ y por lo tanto un evento. Lo mismo sucede con
el complemento de este conjunto que es .X > x/. Podemos escribir entonces la
igualdad de conjuntos .X x/ [ .X > x/ D ˝. Y aplicando probabilidad se obtiene
P.X x/ C P.X > x/ D 1.
Nota importante. A trav´ es de una variable aleatoria se puede considerar que los
posibles resultados de un experimento aleatorio no son elementos ! en ˝ sino n´ umeros
reales que la variable aleatoria puede tomar. Esta es una consideraci´ on radical pues
ya no consideraremos experimentos aleatorios particulares, ni espacios muestrales
arbitrarios ˝, ni eventos (subconjuntos) de ˝; en lugar de ello consideraremos que
una cierta variable aleatoria de inter´ es toma valores en un cierto subconjunto de
n´ umeros reales. La probabilidad definida antes para subconjuntos de ˝ se traslada,
como explicamos antes, a probabilidades para subconjuntos de R. Esta perspectiva
permite estudiar modelos generales y despu´ es aplicarlos a situaciones particulares. A
partir de ahora, el t´ ermino variable aleatoria aparecer´ a con bastante frecuencia en el
presente texto.

6. Funciones de densidad y de distribuci´ on

En esta secci´ on vamos a explicar la forma de asociar a cada variable aleatoria dos
funciones que nos proveen de informaci´ on acerca de las caracter´ ısticas de la variable
aleatoria. Estas funciones, llamadas funci´ on de densidad y funci´ on de distribuci´ on, nos
permiten representar a un mismo tiempo tanto los valores que puede tomar la variable
como las probabilidades de los distintos eventos. Definiremos primero la funci´ on de
densidad para una variable aleatoria discreta, despu´ es para una continua, y finalmente
definiremos la funci´ on de distribuci´ on para ambos tipos de variables aleatorias.

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