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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 27 — #31
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4. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 27

Thomas Bayes
(Inglaterra 1702–1761)

TEOREMA 1.36 (Teorema de Bayes). Sea B 1 ; : : : ; B n una partici´ on de ˝ tal que cada
elemento de la partici´ on tiene probabilidad estrictamente positiva. Sea A un evento tal
que P.A/ > 0. Entonces para cada j D 1; 2; : : : ; n,
P.A j B j /P.B j /
P.B j j A/ D :
n
X
P.A j B i /P.B i /
iD1
DEMOSTRACI ´ ON. Por la definici´ on de probabilidad condicional y el teorema de
probabilidad total tenemos que

P.A \ B j / P.A j B j /P.B j / P.A j B j /P.B j /
P.B j j A/ D D D P n :
P.A/ P.A/ iD1 P.A j B i /P.B i /
En la Figura 1.12 se encuentra una representaci´ on gr´ afica de una partici´ on del
espacio muestral y un evento A. Nuevamente observamos que en el caso cuando la
c
partici´ on de ˝ consta de s´ olo dos elementos: B y B , el teorema de Bayes, para el
evento B, adquiere la forma:
P.A j B/P.B/
P.B j A/ D :
c
c
P.A j B/P.B/ C P.A j B /P.B /
EJEMPLO 1.37. En una f´ abrica hay dos m´ aquinas. La m´ aquina 1 realiza el 60 %
de la producci´ on total y la m´ aquina 2 el 40 %. De su producci´ on total, la m´ aquina 1
produce 3 % de material defectuoso, la 2 el 5 %. El asunto es que se ha encontrado un
material defectuoso, ¿cu´ al es la probabilidad de que este material defectuoso provenga
de la m´ aquina 2?
Soluci´ on: Sea M 1 el evento “La m´ aquina 1 produjo el material escogido”, M 2 en evento
“La m´ aquina 2 produjo el material escogido” y finalmente sea D el evento “El material
escogido es defectuoso”. El problema es encontrar P.M 2 j D/ y observamos que la

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