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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 26 — #30
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26 1. PROBABILIDAD

El experimento aleatorio consiste entonces en escoger una caja al azar, con id´ entica
probabilidad cada una de ellas, y despu´ es escoger una bola de la caja escogida. Es claro
entonces que el espacio muestral puede escribirse como sigue
˝ D f.C 1 ; B/; .C 1 ; G/; .C 2 ; B/; .C 2 ; G/g;
en donde C 1 y C 2 denotan los eventos en donde las cajas uno y dos fueron escogidas,
respectivamente, y B y G denotan los eventos en donde una bola blanca o gris fueron
escogidas respectivamente. Nos piden calcular la probabilidad de B. Observe que es
f´ acil calcular la probabilidad de este evento cuando se conoce la caja que fue escogida.
Esto sugiere condicionar sobre el resultado de escoger alguna de las dos cajas y aplicar
el teorema de probabilidad total, es decir,
P.B/ D P.B j C 1 /P.C 1 / C P.B j C 2 /P.C 2 /
3 1 6 1
D C
10 2 12 2
2
D :
5
Observe adem´ as que la partici´ on del espacio muestral consta de dos elementos:
f.C 1 ; B/; .C 1 ; G/g y f.C 2 ; B/; .C 2 ; G/g:
¿Puede usted comprobar que P.G/ D 3=5? Puede uno tambi´ en preguntarse por
situaciones aparentemente extra˜ nas como la siguiente: si se obtuvo una bola blanca,
¿cu´ al es la probabilidad de que haya sido obtenida de la primera caja? Es posible
calcular esta probabilidad a trav´ es del teorema de Bayes.
EJEMPLO 1.35. Suponga que en una poblaci´ on humana de igual n´ umero de
hombres y mujeres, el 4 % de hombres son dalt´ onicos y el 1 % de las mujeres son
dalt´ onicas. Una persona es elegida al azar, ¿Cu´ al es la probabilidad de que sea dalt´ onica?
Definamos primero los eventos de inter´ es. Sea M el evento “La persona escogida es
mujer”, H el evento “La persona escogida es hombre” y D el evento “La persona
escogida es dalt´ onica”. Deseamos calcular P.D/. Por el teorema de probabilidad total,
P.D/ D P.D j M/P.M/ C P.D j H/P.H/
1 1 4 1
D C
100 2 100 2
1
D :
40

Teorema de Bayes
El resultado interesante que estudiaremos a continuaci´ on involucra nuevamente proba-
bilidades condicionales. Fue publicado por primera vez en 1763, dos a˜ nos despu´ es de
la muerte de su creador: el matem´ atico y te´ ologo ingl´ es Thomas Bayes.

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