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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 24 — #28
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24 1. PROBABILIDAD

EJEMPLO 1.30. Como complemento al ejemplo anterior, ilustraremos ahora el
hecho de que dos eventos pueden ser ajenos sin ser independientes. Consideremos
el experimento aleatorio de lanzar un dado y definamos los eventos A como obtener
un n´ umero par y B como obtener un n´ umero impar. Es claro que los eventos A y B
son ajenos, y sin embargo no son independientes pues P.A \ B/ ¤ P.A/P.B/. Por
lo tanto, dos eventos pueden ser ajenos y ello no implica necesariamente que sean
independientes.
La definici´ on de independencia de dos eventos puede generalizarse al caso de
varios eventos de la siguiente forma.

DEFINICI ´ ON 1.31. Decimos que n eventos A 1 ; A 2 ; : : : ; A n son independientes si
se satisfacen todas y cada una de las condiciones siguientes:

P.A i \ A j / D P.A i /P.A j /; i; j distintos.
P.A i \ A j \ A k / D P.A i /P.A j /P.A k /; i; j; k distintos.
: : :

P.A 1 \ \ A n / D P.A 1 / P.A n /:

En general, para verificar que n eventos son independientes es necesario com-
probar todas y cada una de las igualdades arriba enunciadas. Es decir, cualquiera de
estas igualdades no implica, en general, la validez de alguna otra, es necesario pues
verificarlas todas. No es dif´ ıcil darse cuenta que el total de igualdades es 2 n n 1.
¿Puede usted justificar este resultado?
EJEMPLO 1.32. Sea ˝ D f1; 2; 3; 4g un espacio muestral equiprobable. Sean
los eventos A D f1; 2g, B D f2; 3g y C D f2; 4g. ¿Son A, B y C independientes?
No lo son, pues aunque se cumplen las igualdades P.A \ B/ D P.A/P.B/, P.A \
C/ D P.A/P.C/, y P.B \ C/ D P.B/P.C/, no se cumple que P.A \ B \ C/ D
P.A/P.B/P.C/.

Teorema de probabilidad total

Antes de enunciar el siguiente resultado recordaremos el concepto de partici´ on de
un conjunto: Una partici´ on finita de un conjunto ˝ es una colecci´ on B 1 ; : : : ; B n
de subconjuntos de ˝ tal que cada uno de estos conjuntos es distinto del vac´ ıo, la
colecci´ on es disjunta dos a dos, esto es, para ´ ındices i y j distintos, se cumple que
B i \ B j ¤ 0, y adem´ as la uni´ on de toda la colecci´ on produce el total ˝, es decir,
B 1 [ B 2 [ [ B n D ˝. En la Figura 1.12 se muestra gr´ aficamente el concepto de
partici´ on de un conjunto. Ahora podemos enunciar y demostrar el muy ´ util teorema de
probabilidad total.
TEOREMA 1.33 (Teorema de probabilidad total). Sea B 1 ; B 2 ; : : : ; B n una partici´ on
de ˝ tal que cada elemento de la partici´ on tiene probabilidad estrictamente positiva.

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