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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 23 — #27
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4. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 23

La expresi´ on P.A j B/ se lee probabilidad condicional del evento A dado el evento
B, o simplemente probabilidad de A dado B. Es claro que para que la definici´ on
tenga sentido se necesita suponer que P.B/ > 0. Por otro lado no existe definici´ on
para P.A j B/ cuando P.B/ D 0. Ilustraremos a continuaci´ on el significado de la
probabilidad condicional y comprobaremos que el evento B representa informaci´ on
adicional acerca del experimento aleatorio que modifica, en general, las probabilidades
de los distintos eventos. El c´ alculo de probabilidades condicionadas a la ocurrencia del
evento B tiene el efecto de reducir el espacio muestral ˝ a ´ unicamente el evento B, es
decir, s´ olo los resultados contenidos en el evento B pueden ocurrir.
EJEMPLO 1.26. Considere el experimento de lanzar un dado equilibrado. Clara-
mente el espacio muestral es ˝ D f1; 2; 3; 4; 5; 6g, el cual por hip´ otesis es equiproba-
ble. Sean los eventos A D f2g y B D f2; 4; 6g D “Cae par”. Entonces P.A/ D 1=6
mientras que
P.f2g \ f2; 4; 6g/ P.f2g/ 1=6
P.A j B/ D D D D 1=3:
P.f2; 4; 6g/ P.f2; 4; 6g/ 3=6
Observe que conocer la informaci´ on de la ocurrencia del evento B, ha afectado la
probabilidad del evento A, es decir, dada la informaci´ on que el resultado del dado es
un n´ umero par, la probabilidad de obtener “2” es ahora 1=3.
DEFINICI ´ ON 1.27. Se dice que dos eventos cualesquiera A y B son independientes
si se cumple la condici´ on
P.A \ B/ D P.A/P.B/:
Esta igualdad en la definici´ on de independencia es equivalente a la expresi´ on
P.A j B/ D P.A/ cuando P.B/ > 0. La ventaja de esta ´ ultima expresi´ on es que
posee una interpretaci´ on sencilla: dice que la probabilidad del evento A es la misma
cuando sabemos que ha ocurrido el evento B (lado izquierdo), que cuando no sabemos
nada (lado derecho). Es decir, la ocurrencia del evento B no afecta la probabilidad del
evento A y por lo tanto son independientes. De manera an´ aloga puede interpretarse la
igualdad equivalente P.B j A/ D P.B/, suponiendo naturalmente que P.A/ > 0. En
la mayor´ ıa de los casos de aplicaci´ on simplemente supondremos que dos eventos dados
son independientes recurriendo ´ unicamente a justificaciones intuitivas.
EJEMPLO 1.28. Suponga que se lanza una moneda dos veces. Es una hip´ otesis
natural suponer que el resultado del primer lanzamiento no afecta el resultado del se-
gundo lanzamiento. De este modo cualquier evento del primer ensayo es independiente
de cualquier otro evento en el segundo ensayo.
EJEMPLO 1.29. Inicialmente uno podr´ ıa asociar la idea de independencia de
dos eventos con el hecho de que ´ estos sean ajenos, pero ello es err´ oneo en general.
Considere por ejemplo A un evento cualquier y B D ˝, entonces es claro que A
y B son independientes pues P.A \ ˝/ D P.A/P.˝/ y sin embargo, en general,
A \ B ¤ ;. Por lo tanto, el hecho de que dos eventos sean independientes no implica,
en general, que sean ajenos.

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