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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 21 — #25
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3. AN ´ ALISIS COMBINATORIO 21
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¿Puede usted desarrollar .a C b C c/ ? Es interesante observar que cuando hay ´ unica-
mente dos tipos de objetos, el coeficiente multinomial se reduce al coeficiente binomial.

Muestras sin orden y con reemplazo
Finalmente consideremos el caso de hacer k extracciones de una urna de n objetos con
las condiciones de que cada objeto extra´ ıdo es regresado a la urna (y entonces puede ser
elegido nuevamente), y en donde el orden de la muestra no es relevante. Para encontrar
una f´ ormula para el total de muestras que pueden obtenerse con estas caracter´ ısticas
usaremos una modelaci´ on distinta pero equivalente.

1 2 3 4 n 1 n

FIGURA 1.10

Consideremos el arreglo de n casillas de la Figura 1.10 junto con la siguiente
interpretaci´ on: la primera casilla tiene dos cruces y eso indica que la bola uno fue
seleccionada dos veces, la segunda casilla esta vac´ ıa y ello significa que la bola dos no
fue seleccionada, etc. El n´ umero de cruces en la casilla i indica entonces el n´ umero
de veces que la bola i fue seleccionada. En total debe haber k cruces pues es el
total de extracciones. Deseamos entonces conocer el n´ umero de posibles arreglos
que pueden obtenerse con estas caracter´ ısticas, y debe ser claro, despu´ es de algunos
momentos de reflexi´ on, que ´ este es el n´ umero de muestras de tama˜ no k, con reemplazo
y sin orden, que se pueden obtener de un conjunto de n elementos distinguibles.
Consideremos que las dos paredes en los extremos de este arreglo son fijas, estas
paredes se encuentran ligeramente remarcadas como puede apreciarse en la Figura 1.10.
Consideremos adem´ as que las posiciones intermedias, cruz o l´ ınea vertical, pueden
moverse. En total hay n C k 1 objetos movibles y cambiar de posici´ on estos objetos
produce las distintas configuraciones posibles que nos interesan. El n´ umero total de
estos arreglos es entonces
!
n C k 1
k

que equivale a colocar dentro de las n C k 1 posiciones las k cruces, dejando en los
lugares restantes las paredes movibles.

Resumen de f´ ormulas
En el contexto de muestras de tama˜ no k tomadas de un conjunto de cardinalidad n, y a
manera de resumen parcial, tenemos la tabla de f´ ormulas de la Figura 1.11.

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