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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 19 — #23
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3. AN ´ ALISIS COMBINATORIO 19

razonamiento: cuando el orden importa hemos encontrado antes la f´ ormula
nŠ
:
.n k/Š
Ahora que no nos interesa el orden, observamos que cada uno de los arreglos de la
f´ ormula anterior, est´ a siendo contado kŠ veces, las veces en que los mismos k elementos
pueden ser permutados unos con otros, siendo que el conjunto de elementos es el mismo.
Para obtener arreglos en donde el orden no importa, debemos entonces dividir por kŠ
La f´ ormula a la que hemos llegado se llama combinaciones de n en k y la denotaremos
como sigue:
!
n nŠ
D :
k kŠ .n k/Š
A este n´ umero tambi´ en se le conoce con el nombre de coeficiente binomial de n en k,
pues aparece en el famoso teorema del binomio: para cualesquiera n´ umeros reales a y
b, y para cualquier n´ umero entero n 0,
n !
X n n k k
n
.a C b/ D a b :
k
kD0
Para los casos n D 2 y n D 3 el teorema del binomio se reduce a las siguientes
f´ ormulas que muy seguramente el lector conoce:
2
2
.a C b/ 2 D a C 2ab C b :
2
3
3
2
.a C b/ 3 D a C 3a b C 3ab C b :
EJEMPLO 1.23. ¿Cu´ antos equipos distintos de tres personas pueden escogerse de
un grupo de 5 personas?
Repuesta: observe que el orden de las tres personas escogidas no es importante de
modo que la respuesta es
!
5 5Š
D D 10:
3 3Š .5 3/Š
El coeficiente binomial es tambi´ en una forma de generar las entradas del as´ ı lla-
mado tri´ angulo de Pascal, que puede observarse en Figura 1.9. El n-´ esimo rengl´ on del
tri´ angulo de Pascal, iniciando desde cero, contiene los coeficientes del desarrollo de
n
.aCb/ . Existe una forma sencilla de construir este tri´ angulo observando que cada uno
de estos n´ umeros, exceptuando los extremos, es la suma de los dos n´ umeros inmediatos
del rengl´ on anterior. A este respecto v´ ease por ejemplo el Ejercicio 69 en la p´ agina 148.

Coeficiente multinomial
Ahora consideremos que tenemos n objetos no necesariamente distintos unos de
otros, por ejemplo, supongamos que tenemos k 1 objetos de un primer tipo, k 2 objetos
de un segundo tipo, y as´ ı sucesivamente, hasta k m objetos del tipo m, en donde

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