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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 20 — #24
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20 1. PROBABILIDAD

k 1 C k 2 C C k m D n. Estos n objetos pueden todos ordenarse uno detr´ as de otro
de tantas formas distintas como indica el as´ ı llamado coeficiente multinomial:
!
n nŠ
D :
k 1 k 2 k m 1 k m k 1 Š k 2 Š k m 1 Š k m Š
Un razonamiento para obtener esta f´ ormula es el siguiente: si consideramos que los

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

FIGURA 1.9. Tri´ angulo de Pascal.

n objetos son todos distintos, entonces claramente las distintas formas en que pueden
escribirse todos estos objetos uno detr´ as de otro es nŠ Pero para cada uno de estos
arreglos, los k 1 objetos del primer tipo, supuestos inicialmente distintos cuando en
realidad no lo son, pueden permutarse entre s´ ı de k 1 Š formas diferentes, siendo que el
arreglo total es el mismo. De aqu´ ı que debamos dividir por k 1 Š Lo mismo sucede con
los elementos del segundo tipo y as´ ı sucesivamente hasta los elementos del tipo m.
EJEMPLO 1.24. ¿Cu´ antas palabras distintas se pueden formar permutando las
letras de la palabra “mam´ a” sin importar el acento?
4
Respuesta: Existen D 6 palabras distintas y ´ estas son:
2 2
mama amma mmaa
maam amam aamm.
El coeficiente multinomial aparece en la siguiente f´ ormula:
!
X n
n
k 1 k 2
(1) .a 1 C a 2 C C a m / D a a 2 a k m ;
m
1
k 1 k m
en donde la suma se efect´ ua sobre todos los posibles valores enteros no negativos de
k 1 ; k 2 ; : : : ; k m , tales que k 1 C k 2 C C k m D n. A este resultado se le conoce como
el teorema multinomial y es claramente una extensi´ on del teorema del binomio. Por
ejemplo, compruebe el lector que la f´ ormula (1) produce la siguiente expresi´ on:
2
2
2
2
.a C b C c/ D a C b C c C 2ab C 2ac C 2bc:
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