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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 194 — #198
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194 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

Intercambiando el orden de las sumas se encuentra la expresi´ on

1 1 1
X X xC1 X y
.1=2/ D .1=2/ D 1:
yD1 xDy yD1
Para la varianza encontraremos primero el segundo momento, y para ello usaremos
2
la identidad x D x.x C 1/ x:
1 1 1
2 X 2 xC1 X xC1 X xC1
E.X / D x .1=2/ D x.x C 1/.1=2/ x.1=2/ :
xD1 xD0 xD0
La segunda suma acaba de ser calculada y vale uno. Para la primera suma es-
P x
criba x.x C 1/ como 2 y. Intercambiando ahora el orden de las sumas
yD1
2
se llega a E.X / D 2 P 1 y P 1 .1=2/ xC1 1 D 2 P 1 y.1=2/ y 1
yD1 xDy yD1
D 2 2 P 1 y.1=2/ yC1 1 D 4 1 D 3. Por lo tanto la varianza es Var.X/ D
yD1
2
2
E.X / E .X/ D 3 1 D 2.
153. Ambos incisos son ciertos pues tanto E.X/ como Var.X/ son constantes.
R 1 1 jxj
154. a) La funci´ on es de densidad pues es no negativa y la integral 1 2 e dx puede
R 1 1 x R 1 x
ser escrita como 2 e dx D e dx D 1.
0 2 0
R 1 1 jxj
b) La esperanza de X es 1 x e dx. Separando la parte positiva y la negativa
2
R 1 1 x R 0 1 x
se obtiene x e dx C x e dx. Mediante el cambio de variable
0 2 1 2
y D x se comprueba que la segunda integral es el negativo de la primera, se
obtiene que la esperanza es cero.
R 1 2 1 jxj
c) El segundo momento es 1 x 2 e dx. Nuevamente separando la parte po-
R 1 2 1 x R 0 2 1 x
sitiva de la negativa se obtiene x e dx C x e dx. Ahora al
0 2 1 2
hacer el cambio de variable y D x en la segunda integral se obtiene que es
id´ entica a la primera integral. Por lo tanto se obtiene el doble de la primera, es
R 1 2 x
decir, x e dx. Usando integraci´ on por partes puede comprobarse que esta
0
integral vale 2.
2
2
d) Por los c´ alculos anteriores Var.X/ D E.X / E .X/ D 2.
R 1 n 1 jxj
e) El n-´ esimo momento es x e dx. Nuevamente separando la parte
1 2
R 1 n 1 x R 0 n 1 x
positiva de la negativa se obtiene 0 x 2 e dx C 1 x 2 e dx. Al ha-
cer el cambio de variable y D x en la segunda integral se obtiene que es
. 1/ nC2 R 1 x n 1 e x dx. Cuando n es impar se trata del negativo de la primera
0 2
integral, de modo que la suma es cero. Cuando n es par, es id´ entica a la primera
R 1 n x
integral, y entonces el resultado es x e dx. Aplicando repetidas veces el
0
m´ etodo de integraci´ on por partes se comprueba que esta integral vale nŠ
155. a) Cierto pues la esperanza es lineal.
2
b) Falso, pues en general Var.cX/ D c Var.X/.
c) Falso. El lado izquierdo es Var.X/ y el lado derecho es siempre cero.
156. La tercera igualdad no es correcta pues la varianza en general no es lineal.
n
157. E.X / D =. C n/, para n 0.
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