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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 196 — #200
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196 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

Distribuci´ on binomial
168. a) Claramente f .x/ 0. Adem´ as por el teorema del binomio
P n P n n x n x n
p .1
xD0 f .x/ D xD0 x P p/ D .p C 1 p/ D 1:
x
b) La esperanza es E.X/ D n x n p .1 p/ n x . La suma puede empezar
xD0
x
desde uno. Factorizando np y escribiendo n x D .n 1/ .x 1/ se encuentra
la expresi´ on
n
X .n 1/Š x 1 .n 1/ .x 1/
np p .1 p/ ;
..n 1/ .x 1//Š.x 1/Š
xD1
n 1
lo cual es np P n xD1 x 1 p x 1 .1 p/ .n 1/ .x 1/ . Haciendo el cambio de
variable y D x 1 en la suma, ´ esta se convierte en la suma completa de la
distribuci´ on bin.n 1; p/ y vale uno. El resultado es entonces np.
c) Para la varianza se usa la misma t´ ecnica. Se calcula primero el segundo momento
2
escribiendo x D x.x 1/ C x, es decir,
n !
n
2
x
E.X / D X x 2 p .1 p/ n x
x
xD0
n ! n !
x
x
X n X n
D x.x 1/ p .1 p/ n x C x p .1 p/ n x :
x x
xD0 xD0
La segunda suma acaba de ser calculada y vale np. La primera suma puede
empezar desde 2, y procediendo como en el caso de la esperanza puede escribirse
como
n .n 2/Š
n.n 1/p 2 X p x 2 .1 p/ .n 2/ .x 2/ ;
..n 2/ .x 2//Š.x 2/Š
xD2
lo cual es n.n 1/p 2 P n n 2 p x 2 .1 p/ .n 2/ .x 2/ . Haciendo el cambio
xD2 x 2
de variable y D x 2 en la suma, ´ esta se convierte en la suma completa de la
distribuci´ on bin.n 2; p/ y vale uno. El segundo momento es entonces n.n
2 2
2
2
2
2
1/p Cnp. Por lo tanto Var.X/ D E.X / E .X/ D n.n 1/p Cnp n p D
np.1 p/.
169. a) n D 8 y p D 1=2.
2
b) n D u =.u v/ y p D 1 v=u, suponiendo 0 v < u tal que la expresi´ on para
n es un entero.
170. P.Y D x/ D P.n X D x/ D P.X D n x/. Al substituir la funci´ on de
probabilidad de X resulta que Y tiene distribuci´ on binomial con el mismo n´ umero de
ensayos n, pero la probabilidad de ´ exito es ahora 1 p. Si X cuenta el n´ umero de
´ exitos en n ensayos Bernoulli, entonces Y cuenta el n´ umero de fracasos.
171. Desarrolle el lado derecho.
!
6
6
172. .1=2/ .
3
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