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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 197 — #201
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 197
!
2n
173. .1=2/ 2n .
n
174. Recuerde que Var.X/ D npq y E.X/ D np. Entonces efectivamente npq np pues
q 1.
175. Los tres eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, cada uno de ellos tiene
6
probabilidad 1=2 .
176. a) 0:07463
b) 0:5987
Distribuci´ on geom´ etrica
P 1 P 1 x
177. a) f .x/ 0. Adem´ as xD0 f .x/ D xD0 p.1 p/ D p.1=p/ D 1.
P 1 x
b) Usaremos resultados de sumas geom´ etricas. E.X/ D xD0 xp.1 p/
P 1 P x x
D xD1 yD1 p.1 p/ . Intercambiando el orden de las sumas se encuentra
P 1 P 1 x P 1 y
la expresi´ on yD1 xDy p.1 p/ D yD1 .1 p/ D .1 p/=p.
c) Para la varianza encontraremos primero el segundo momento, y para ello usaremos
2
x
2
2
la identidad x D x.x C1/ x. E.X / D P 1 x p.1 p/ D P 1 x.x C
xD1
xD0
x
1/p.1 p/ x P 1 xp.1 p/ . La segunda suma acaba de ser calculada y vale
xD0
(1-p)/p. Para la primera suma escriba x.x C 1/ como 2 P x yD1 y. Intercambiando
2
ahora el orden de las sumas se llega a E.X / D 2 P 1 y P 1 p.1 p/ x
xDy
yD1
1
.1 p/=p D 2 P yD1 y.1 p/ y .1 p/=p D 2 p P 1 yp.1 p/ y .1 p/=p
yD1
2
2
D 2.1 p/=p 2 .1 p/=p. Por lo tanto la varianza es Var.X/ D E.X / E .X/
2
2
2
D 2.1 p/=p 2 .1 p/=p .1 p/ =p D .1 p/=p .
P 1
178. P.X a C b j X a/ D P.X a C b/=P.X a/ D p .1
xDaCb
x
x
a
b
p/ =.p P 1 .1 p/ / D .1 p/ aCb =.1 p/ D .1 p/ D P.X b/.
xDa
P 1 k P 1 k .1 p/ x x
179. P.X x/ D p.1 p/ D p .1 p/ D p D .1 p/ .
kDx kDx 1 .1 p/
180. 8=3=2.66 extracciones.
181. Nos interesa el n´ umero de ensayos necesarios para obtener el primer ´ exito y ello
corresponde a la variable 1 C X en donde X es el n´ umero de fracasos antes del primer
´ exito, es decir, X tiene distribuci´ on geo.p/ de acuerdo a como fue definida en este
texto.
a) En este caso p D 1=6 y por lo tanto E.1 C X/ D 1=p D 6.
b) En este caso p D 1=21 pues hay 21 resultados distintos bajo las condiciones
mencionadas. Por lo tanto, E.1 C X/ D 1=p D 21.
Distribuci´ on Poisson
182. a) La funci´ on f .x/ es no negativa y es tal que
1 1 1
P P x P x
xD0 f .x/ D xD0 e xŠ D e xD0 xŠ D e e D 1.
b) Para la esperanza tenemos que
x

E.X/ D P 1 x e xŠ x D P 1 e .x 1/Š D P 1 e x 1 D .
xD1
xD0
xD1
.x 1/Š
2
c) Usando la igualdad x D x.x 1/Cx, puede encontrarse que el segundo momento
2 2 2 2 2 2
es E.X / D C. Por lo tanto Var.X/ D E.X / E .X/ D C D .
183. Desarrolle el lado derecho.
3
3

2
2
184. Sume las series e D 1CC =2ŠC =3ŠC , y e D 1 C =2Š =3ŠC
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