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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 189 — #193
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 189

b) Cierto. P.A 1 [ A 2 j B/ D P..A 1 [ A 2 / \ B/=P.B/ D P.A 1 \ B/=P.B/ C
P.A 2 \ B/=P.B/ D P.A 1 j B/ C P.A 2 j B/.
c) Falso. T´ omese B 1 D B 2 . El lado derecho es el cuadrado del lado izquierdo.
d) Falso. T´ omese A 1 D A 2 . El lado derecho es el cuadrado del lado izquierdo.
104. a) P.; \ ;/ D P.;/ D 0 D P.;/P.;/.
b) P.˝ \ ˝/ D P.˝/ D 1 D P.˝/P.˝/.
105. a) Falso. T´ omese B D ˝. Entonces A y B son independientes pero no son ajenos.
b) Falso. Considere el experimento de lanzar una moneda honesta, y sean A y B los
eventos de que caiga una cara y la otra respectivamente. Entonces claramente A y
B son ajenos pero no son independientes.
106. a) P.A \ ;/ D P.;/ D 0 D P.A/P.;/.
b) P.A \ ˝/ D P.A/ D P.A/P.˝/.
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107. P.A [ B/ D 1 P.A \ B / D 1 P.A /P.B / pues A y B tambi´ en son
independientes. Alternativamente desarrolle P.A [ B/ y factorice adecuadamente.
108. a) Cierto pues la definici´ on es sim´ etrica respecto de los eventos A y B.
b) Falso en general. T´ omese A tal que 0 < P.A/ < 1. Entonces P.A \ A/ D P.A/
mientras que P.A/P.A/ < P.A/. Cuando P.A/ es cero o uno la propiedad es
v´ alida.
c) Falso. T´ omese ˝ D f1; 2; 3; 4g equiprobable con A D f1; 2g, B D f2; 3g y
C D f3; 4g. Entonces se cumple P.A \ B/ D 1=4 D P.A/P.B/ y P.B \ C/ D
1=4 D P.B/P.C/, pero P.A \ C/ D 0 distinto a P.A/P.C/ D 1=4.
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109. La probabilidad de que no ocurra ninguno de los eventos es P.A \ B /, que por la
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independencia es igual a P.A /P.B / D .1 p 1 /.1 p 2 /.
110. Como A y B son independientes y ajenos, 0 D P.A \ B/ D P.A/P.B/. Para que
este producto se anule forzosamente alguno de los factores tiene que ser cero.
111. a) ; D .0; 0/; .0; 1=2/. b) .0; 1=2/; .1=4; 3=4/. c) .0; 1=2/; .1=2; 1/.
d) .0; 1=2/; .0; 1=2/.
n n n
112. El total de subconjuntos de cardinal 1; 2; : : : ; n es, respectivamente, 1 , 2 , . .. , n .
n n n
De modo que la respuesta es C C D 2 n 1.
1 n
113. Se puede usar el m´ etodo de inducci´ on sobre el valor de n. Alternativamente escriba la
definici´ on de probabilidad condicional para cada factor del lado derecho y simplifique.
114. P.R 1 \R 2 \R 3 / D P.R 1 /P.R 2 j R 1 /P.R 3 j R 2 \R 1 /. Por lo tanto, P.R 1 \R 2 \
r rCc rC2c
R 3 / D .
rCc rCbCc rCbC2c
Teorema de probabilidad total
115. Se puede usar el m´ etodo de inducci´ on sobre n. Claramente P.R 1 / D r=.r C b/. Su-
ponga entonces v´ alida la igualdad P.R n / D r=.r C b/. Se condiciona la probabilidad
del evento R nC1 dado el resultado de la primera extracci´ on, y en tal situaci´ on puede
considerarse que la configuraci´ on inicial de la urna cambia, de modo que el evento
R nC1 se refiere ahora a la n-´ esima extracci´ on y all´ ı es donde se usa la hip´ otesis de
inducci´ on. Entonces por el teorema de probabilidad total,

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