Page 205 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 195 — #199
i i

B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 195

Cuantiles
2
158. La correspondiente funci´ on de distribuci´ on es F.x/ D x para 0 < x < 1. As´ ı,
c 2 D 0:25, es decir, c 0:25 D 0:5. An´ alogamente se calculan los otros cuantiles,
0:25
c 0:5 D 0:707, c 0:75 D 0:866, c 1 D 1.
159. c 0:25 D 1, c 0:5 D 0, c 0:75 D 1, c 1 D 2.
160. c 0:75 D 3.
161. Si P.X D 1/ D 0:8 y P.X D 2/ D 0:2, entonces c 0:25 D c 0:75 D 1.

Distribuci´ on uniforme discreta
n n
X 1 1 X 1 n.n C 1/
162. a) E.X/ D i D i D D .n C 1/=2.
n n n 2
iD1 iD1
n n
2
X 1 1 X 1 n.n C 1/.2n C 1/
2
b) E.X / D i 2 D i D D .n C 1/.2n C 1/=6.
n n n 6
iD1 iD1
.n C 1/.2n C 1/ .n C 1/ 2
2 2 2
c) Var.X/ D E.X / E .X/ D D .n 1/=12.
6 4
163. 45=100.
P 100 2
164. a) P.X D Y / D xD1 P.X D x/P.Y D x/ D 100.1=100/ D 1=100 .
2
100
b) P.X Y / D P 100 P y xD1 .1=100/ D .1=100/ 2 P yD1 y
yD1
2
D .1=100/ 100.101/=2 D 0:505.
49
c) P.X C Y 50/ D P yD1 P 50 y .1=100/ 2
xD1
49
2
D .1=100/ 2 P yD1 .50 y/ D .1=100/ .49 50 49 50=2/
D 0:1225 .
P 100 P x 10 2
d) P.X Y 10/DP.Y X 10/D xD11 yD1 .1=100/
2
D.1=100/ 2 P 100 .x 10/ D .1=100/ .100.101/=2 10.11/=2
xD11
2
10.90// D 4095=.100/ D 0:4095 .
Distribuci´ on Bernoulli
165. a) Es muy sencillo verificar que f .x/ 0 y f .0/ C f .1/ D 1.
b) E.X/ D 0 .1 p/ C 1 p D p.
n
n
n
c) E.X / D 0 .1 p/ C 1 p D p.
2
2
2
d) Var.X/ D E.X / E .X/ D p p D p.1 p/.
166. a) P.X 1 D 0 j X 1 CX 2 D 1/ D P.X 1 D 0/P.X 2 D 1/=P.X 1 CX 2 D 1/ D
P.X 1 D 0/ P.X 2 D 1/=.P.X 1 D 0/P.X 2 D 1/ C P.X 1 D 1/P.X 2 D 0//D
1=2.
b) P.X 1 D 1 j X 1 C X 2 D 1/ D 1=2.
c) P.X 1 C X 2 D 2 j X 1 D 1/ D P.X 2 D 1/P.X 1 D 1/=P.X 1 D 1/ D p.
167. a) P.Y D 1/ D 1 p y P.Y D 1/ D p.
b) E.Y / D 2E.X/ 1 D 2p 1 y Var.Y / D 4 Var.X/ D 4p.1 p/.
2p 1 si n es impar,
n
c) E.Y / D
1 si n es par.
i i
i i