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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 198 — #202
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198 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

185. a) 0.323 b) 0.593 c) Una o dos computadoras descompuestas tienen probabilidad
m´ axima 0.2706.
186. a) P.X D 0/ D e 2 0
2 =0Š D 0:135 .
b) P.X 4/ D 1 P.X 3/ D 1 P.X D 0/ P.X D 1/ P.X D 2/ P.X D
0
1
3
2
3/ D 1 e 2 .2 =0Š C 2 =1Š C 2 =2Š C 2 =3Š/ D 0:1428 .
187. Sea X el n´ umero de p´ olizas que presentan una reclamaci´ on. Entonces X tiene distribu-
ci´ on bin.550; 0:02/. La probabilidad buscada es
10 !
X 550 x 550 x
P.X 10/ D .0:02/ .0:98/ D 0:458 :
x
xD0
Sea D np D .550/.0:02/ D 11. La aproximaci´ on Poisson es
10 x
X .11/
P.X 10/ D e 11 D 0:459 :
xŠ
xD0
Distribuci´ on binomial negativa
188. a) Este ejercicio no es f´ acil. Una forma de resolverlo es a trav´ es de la f´ ormula
n k nCk 1 a P 1 a x
k D . 1/ k , y la expansi´ on .1 C t/ D xD0 x t para a real y
jtj < 1. Entonces
1 rCx 1 r x r 1 x r x
P P
xD0 x p .1 p/ D p xD0 . 1/ x .1 p/
x
r
D p r P 1 r .p 1/ D p .1 C p 1/ r D 1.
xD0 x
b) Para la esperanza, factorice el t´ ermino r.1 p/=p en la expresi´ on E.X/ D
P 1 rCx 1 r x
xD1 x x p .1 p/ . Observe que la suma puede empezar desde 1. La
suma resultante es uno pues se trata de las probabilidades de la distribuci´ on
binneg.r; p/.
2
2
c) Para la varianza use la f´ ormula x D x.x 1/ C x para calcular primero E.X /,
separando las sumas. El procedimiento es an´ alogo al caso de la esperanza, el
2
2
2
resultado es E.X / D r.r C 1/.1 p/ =p C r.1 p/=p. Al substituir estos
2
2
resultados en la f´ ormula Var.X/ D E.X / E .X/ se obtiene Var.X/ D r.1
2
p/=p .
189. Factorice el t´ ermino .1 p/.r C x 1/=x en la expresi´ on de P.X D x/.
190. Sea X el n´ umero de caras hasta obtener cinco cruces. Entonces X tiene distribuci´ on
binneg.r;p/ con r D 5 y p D 1=2. Se usa la f´ ormula E.X/ D r.1 p/=p.
a) E.X/ D 5.
b) E.X C 5/ D 10.
Distribuci´ on hipergeom´ etrica
P r n m nCm
191. El resultado se sigue de la f´ ormula kD0 k r k D r .
18
2
192. a) P.X D 0/ D 0 2 D 0:805 :
20
2
18
2
b) P.X D 2/ D 2 0 D 0:005 :
20
2
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