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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 192 — #196
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192 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

136. Se trata de una variable aleatoria discreta cuya funci´ on de probabilidad es f .1/ D 1=3
y f .2/ D 2=3. Por lo tanto P.X D 2/ D 2=3, y P.1 < X < 2/ D 0.
p
137. La funci´ on de densidad es f .x/ D 1=.2 x/, para x 2 .0; 1/. P.X D 1=2/ D 0 y
p
P.X > 1=2/ D F.1/ F.1=2/ D 1 1= 2.
138. a) ˝ D f.1; 2/; .1; 3/; .1; 4/; .2; 1/; .2; 3/; .2; 4/; .3; 1/; .3; 2/; .3; 4/; .4; 1/;
.4; 2/.4; 3/g.
b) La funci´ on de probabilidad de X es

x 3 4 5 6 7
f .x/ 2/12 2/12 4/12 2/12 2/12

8
ˆ 0 si x < 3;
ˆ
ˆ 2=12 si 3 x < 4;
ˆ
ˆ
ˆ
4=12 si 4 x < 5;
<
c) F.x/ D
ˆ 8=12 si 5 x < 6;
ˆ
ˆ 10=12 si 6 x < 7;
ˆ
ˆ
ˆ
1 si x 7:
:
d) P.X 6/ D 1=3, P.3 < X 5/ D 1=2, P.X D 6/ D 1=6.
139. a) Es funci´ on de probabilidad pues es no negativa y es tal que f .0/Cf .1/Cf .2/ D
1.
b) Es funci´ on de probabilidad pues es no negativa y por el teorema del binomio se
P 4 4
cumple que xD0 f .x/ D .3=4 C 1=4/ D 1. Esta es la funci´ on de probabilidad
de la distribuci´ on bin.n; p/ con n D 4 y p D 3=4.
140. Ninguna de las funciones es de densidad. La primera no integra uno, y para la segunda
se tiene que f .3=2/ < 0.
141. La funci´ on de probabilidad es f .x/ D .1=2/ xC1 , para x D 0; 1; 2; : : : Por lo tanto
10
P.0 X < 10/ D F.9/ D 1 .1=2/ .
2
142. c D 3. F.x/ D x =9 para x 2 Œ0; 3, cero antes, uno despu´ es.
143. a) c D 2 b) F.x/ D 1 e x 2 , para x > 0.
Esperanza, varianza, momentos
144. Puede considerarse la variable aleatoria constante X D a. Alternativamente puede
tomarse a X como aquella variable aleatoria que toma los valores a 1 y a C 1 con
id´ entica probabilidad 1=2. ¿Puede usted construir una variable aleatoria continua con
la propiedad indicada?
145. a) E.X/ D 7=6. b) E.X/ D 0.
146. a) E.x/ D 1. b) E.X/ D 4=3.
147. La funci´ on es no negativa. Usando fracciones parciales se comprueba la identidad
1 1 1
D :
x.x C 1/ x x C 1
P 1
Entonces la suma xD1 f .x/ es telesc´ opica y vale uno. Por otro lado la esperanza no
P 1 P 1 1
existe pues la suma xD1 xf .x/ D xD1 xC1 es divergente.

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