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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 193 — #197
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 193

148. Para demostrar que esta funci´ on es de densidad es necesario recordar que la derivada
0
2
de la funci´ on h.x/ D arctan x es h .x/ D 1=.1 C x /. Por lo tanto
1 dx D 1 d arctan x dx
Z 1 Z 1
2
1 .1 C x / 1 dx
1
D arctan xj 1
1

1
D .=2 . =2//

D 1:
La esperanza no existe por que la integral resultante no es absolutamente convergente:
Z 1 1 2 Z 1 x
jxj dx D dx
2
1 .1 C x / 0 1 C x 2
2 Z 1 x
dx
1 1 C x 2
2 Z 1 x
dx
2
1 x C x 2
1 Z 1 1
D dx
1 x
D 1:
149. a) Cierto, la constante cero cumple tal condici´ on.
b) Falso, las siguientes dos distribuciones son distintas y ambas tienen esperanza
cero.
x -1 0 1
f 1 .x/ 1/2 0 1/2
f 2 .x/ 1/3 1/3 1/3
c) Falso, si X es una variable aleatoria con esperanza finita y positiva, entonces X
tiene esperanza negativa.
d) Cierto, por ejemplo todas las constantes son variables aleatorias con varianza cero.
e) Cierto, pues la varianza es la esperanza de una variable aleatoria no negativa.
f) Falso, dos variables aleatorias constantes distintas tienen varianza cero.
150. Tanto la esperanza como la varianza son constantes. Los resultados se siguen del
hecho de que la esperanza de una constante es la constante misma y la varianza de una
constante es cero.
151. a) E.X/ D c P.X D c/ D c 1 D c.
n n n n
b) E.X / D c P.X D c/ D c 1 D c .
2
2
c) Var.X/ D .c E.X// P.X D c/ D .c c/ 1 D 0.
152. a) E.X/ D 3 y Var.X/ D 24=9.
b) Esta es la distribuci´ on geo.p/ con p D 1=2. Usaremos resultados de sumas
geom´ etricas.
1 1 x
X xC1 X X xC1
E.X/ D x.1=2/ D .1=2/ :
xD0 xD1 yD1

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