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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 199 — #203
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 199
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193. P.X D 1/ D 1 1 D 2=5 :
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194. Sea X el n´ umero de art´ ıculos defectuosos en la muestra. Entonces X tiene distribuci´ on
hipergeo.N; K; n/ con N D 1000, K D 50 y n D 20. Se efect´ ua la compra cuando
50 950 50 950
P.X 1/ D P.X D 0/ C P.X D 1/ D 0 20 C 1 19 D 0:7360 :
1000 1000
20 20
Distribuci´ on uniforme continua
195. a) Claramente f .x/ 0, y la integral de f .x/ es el ´ area del rect´ angulo de base b a
y altura 1=.b a/ que vale uno.
R b 2 2
b) E.X/ D a x 1=.b a/ dx D .b a /=.2.b a// D .a C b/=2.
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3
c) E.X / D R a b x 1=.b a/ dx D .b 3 a /=.3.b a// D .a CabCb /=3. Por lo
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tanto Var.x/ D E.X / E .X/ D .a CabCb /=3 .aCb/ =4 D .b a/ =12.
196. a D 1 y b D 7.
n
n
197. E.X / D R 0 1 x 1 dx D 1=.n C 1/.
n
n
198. E.X / D R b x 1=.b a/ dx D 1 x nC1ˇ ˇ b D .b nC1 a nC1 /=..n C
a .nC1/.b a/ a
1/.b a//.
n
n
199. E.X / D R 1 x 1=2 dx D 1 x nC1ˇ ˇ 1 : Si n es impar, entonces n C 1 es par y
1 2.nC1/ 1
la integral se anula. Si n es par, entonces n C 1 es impar y la integral es 1=.n C 1/.
200. X toma valores en .0; 1/ y Y toma valores en . 5; 5/. Para cualquier y 2 . 5; 5/,
F Y .y/ D P.Y y/ D P.10X 5 y/ D P.X .y C5/=10/ D F X ..y C5/=10/.
Derivando f Y .y/ D f X ..y C5/=10/ 1=10. Pero f X ..y C5/=10/ vale uno s´ olo cuando
0 < .y C 5/=10 < 1, es decir, si 5 < y < 5. Por lo tanto, Y tiene distribuci´ on
unif. 5; 5/.
201. La mediana en este caso es ´ unica y vale m D .a C b/=2 pues cumple la condici´ on
P.X m/ D P.X m/ D 1=2. Vea un ejercicio anterior para la demostraci´ on de
que la media es tambi´ en .a C b/=2.
Distribuci´ on exponencial
R 1 x x 1
202. a) f .x/ 0 y 0 e dx D e j 0 D 1.
R 1 x
b) E.X/ D 0 x e dx. Usando integraci´ on por partes con u D x y dv D
e x dx, se obtiene
R 1 x R 1 x
E.X/ D e dx D .1=/ e dx D 1=.
0 0
c) Para la varianza calcule primero el segundo momento, usando nuevamente integra-
ci´ on por partes,
Z 1 Z 1
2
2
E.X / D x e x dx D 2 x e x dx
0 0
Z 1
D .2=/ x e x dx
0
2
2
2
D 2= : Por lo tanto, Var.X/ D E.X / E .X/
2
2
D 2= 2 1= D 1= :
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