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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 188 — #192
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188 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

2; 3; : : : ; k. Las respuestas son entonces
! n !
n C k 1 X m C k 1
a) . b) . c) Infinito.
n m
mD0
92. Considere que los n´ umeros 1; 2; : : : ; n representan casillas que se encuentran ordenadas
de manera natural. El problema puede entonces traducirse en colocar k bolas en este
arreglo de casillas en donde cada casilla admite a lo sumo una bola. La respuesta es
n
entonces .
k
3
3
2
2
2
2
3
3
2
2
93. .aCb Cc/ D a Cb Cc C3ab C3ac C3a b C3a c C3b c C3bc C6abc.
94. Substituya a 1 D D a m D 1 en la f´ ormula del teorema multinomial.
Probabilidad condicional e independencia
c
c
95. a) Como B D .A \B/[.A\B/, se tiene que P.A \B/ D P.B/ P.A\B/ D
c
P.B/ P.A/P.B/ D P.B/.1 P.A// D P.B/P.A /.
b) An´ alogo al primer inciso.
c
c
c) P.A \ B / D 1 P.A [ B/ D 1 P.A/ P.B/ C P.A \ B/ D 1 P.A/
c
c
P.B/ C P.A/P.B/ D .1 P.A//.1 P.B// D P.A /P.B /:
96. a) P.A \ B/ D 0:05. e) P.A [ B/ D 0:55.
c c
b) P.A \ B/ D 0:45. f) P.A [ B/ D 0:95.
c c
c) P.A \ B / D 0:05. g) P.A [ B / D 0:55.
c c c c
d) P.A \ B / D 0:45. h) P.A [ B / D 0:95.
97. a) P.B/ D 1=10. b) P.B/ D 1=5. c) P.B/ D 1=6.
98. a) P.AjB/ 0.
b) P.˝jB/ D P.B/=P.B/ D 1.
c) Sean A 1 y A 2 ajenos. Entonces A 1 \B y A 2 \B tambi´ en son ajenos. Por lo tanto
P.A 1 [A 2 jB/ D P..A 1 [A 2 /\B/=P.B/ D P..A 1 \B/[.A 2 \B//=P.B/ D
P.A 1 \ B/=P.B/ C P.A 2 \ B/=P.B/ D P.A 1 jB/ C P.A 2 jB/.
3
99. P.A \ B \ C/ D P.CjA \ B/P.AjB/P.B/ D ppp D p .
100. a) Falso. Con A D ; se obtiene P.AjB/ D 0.
b) b) Falso. T´ omese A D ˝ y B tal que 0 < P.B/ < 1. Entonces P.AjB/ D 1
mientras que P.BjA/ D P.B/ < 1.
c) Falso. T´ omese A D B con 0 < P.A/ < 1. Entonces P.AjB/ D 1 mientras que
P.A/ < 1.
101. a) Verdadero y ello es consecuencia del hecho de que P. j B/ es una medida de
c
probabilidad. Alternativamente, P.A j B/ C P.A j B/ D P.A \ B/=P.B/ C
c
c
c
P.A \B/=P.B/ D P..A\B/[.A \B//=P.B/ D P..A[A /\B/=P.B/ D
P.B/=P.B/ D 1.
b) Falso. T´ omese A D ˝. El lado izquierdo es 2 mientras que el lado izquierdo es 1.
c) Cierto. P.A j A \ B/ D P.A \ B/=P.A \ B/ D 1. El c´ alculo es id´ entico para
P.B j A \ B/.
102. Todos los incisos son ciertos. Solo es cuesti´ on de escribir la definici´ on de cada proba-
bilidad condicional.
103. a) Falso. T´ omese por ejemplo A D B 1 [ B 2 . Entonces el lado izquierdo es uno
mientras que el lado derecho es dos.
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