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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 187 — #191
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 187

75. El total es 4536. No es cierto que la mitad de ellos sean pares y la otra mitad impares.
Existen 2296 pares y 2240 impares.
! ! ! ! !
10 15 25 15 10
76. a) C . b) . c) C .
3 3 6 6 6
˝
77. Para n D 1 se verifica directamente que #.2 / D 2 D 2 #˝ . Suponga que la f´ ormula
se cumple para un conjunto dado ˝ n de cardinalidad n 1 y sea ˝ nC1 el conjunto
de n C 1 elementos dados por los elementos de ˝ n y un elemento adicional x. Cada
subconjunto de ˝ n genera dos subconjuntos de ˝ nC1 : en un caso a˜ nadiendo el
elemento adicional x y en el otro no a˜ nadi´ endolo. As´ ı, tenemos que #.2 ˝ nC1 / D
2 #.2 ˝ n / D 2 2 #˝ n D 2 1C#˝ n D 2 #˝ nC1 .
78. Suponga R.n/ denota el n´ umero m´ aximo de regiones con n rectas. Cuando no hay
ninguna recta se tiene el plano completo y por lo tanto R.0/ D 1. Si se colocan una
recta despu´ es de otra, entonces la n-´ esima recta atraviesa siempre un m´ aximo de n
regiones. Por lo tanto se cumple la relaci´ on R.n/ D R.n 1/ C n. Resolviendo
iterativamente se encuentra que R.n/ D R.0/ C .1 C 2 C C n/ D 1 C n.n C 1/=2.
79. Siendo 5 y 7 n´ umeros primos, los ´ unicos divisores son aquellos n´ umeros de la forma
x y
5 7 para x D 0; 1; 2; 3 y y D 0; 1; 2; 3; 4. Ello da un total de 20 divisores.
! ! ! ! ! ! ! !
20 40 20 20 40 20 20 40
80. a) = . b) = . c) = .
4 4 1 3 4 2 2 4
! ! ! ! !
20 20 40 20 40
d) = . e) = .
3 1 4 4 4
n
81. Se pueden obtener un total de 2 subconjuntos distintos de un conjunto de cardinalidad
n. Los 16 subconjuntos de fa; b; c; dg son: ;, fag; fbg, fcg, fdg, fa; bg, fa; cg, fa; dg,
fb; cg, fb; dg, fc; dg, fa; b; cg, fb; c; dg, fa; c; dg, fa; b; dg, fa; b; c; dg.
n
82. 2 . El conjunto E corresponde al conjunto de los n ejes coordenados, o uniones de
´ estos.
83. a) 20. b) 400.
84. Compruebe que la f´ ormula se cumple para n D 1. Suponga ahora que la f´ ormula
es v´ alida para cualquier n 1 fijo. Con ayuda de esta hip´ otesis demuestre que la
f´ ormula tambi´ en se cumple para n C 1 escribiendo y desarrollando .a C b/ nC1 D
n
.a C b/ .a C b/.
6
85. 2 .
86. nŠ .n C 1/Š
2
87. .nŠ/ .
88. Denote por la letra a un paso hacia arriba y por d un paso a la derecha. Para llegar de
A a B se necesitan 5 pasos hacia arriba y 7 pasos a la derecha. As´ ı, la respuesta es el
total de arreglos lineales en que se pueden acomodar las 12 letras aaaaaddddddd.
La respuesta es entonces 12Š=.5Š 7Š/ D 792.
89. 7Š=.3Š 2Š/ D 420.
90. 11Š=.5Š 4Š 2Š/ D 6930.
91. Considere que se tienen k casillas numeradas 1; 2; : : : ; k en donde se desean colocar n
bolas sin ninguna restricci´ on en el n´ umero de bolas que caben en cada casilla. De esta
forma, el n´ umero de bolas en la casilla 1 es el valor de x 1 , lo mismo para las casillas

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