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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 185 — #189
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B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS 185

41. Para cualquier valor natural de n, se cumple que n.A/=n 0, y n.˝/=n D n=n D 1.
Cuando A y B son ajenos, n.A [ B/ D n.A/ C n.B/. Ahora tome l´ ımite cuando n
tiende a infinito y obtenga el resultado requerido.
42. a) P.˝/ D ˛P 1 .˝/ C .1 ˛/P 2 .˝/ D ˛ C .1 ˛/ D 1.
b) P.A/ D ˛P 1 .A/ C .1 ˛/P 2 .A/ 0.
c) Cuando A y B son disjuntos, P.A [ B/ D ˛P 1 .A [ B/ C .1 ˛/P 2 .A [ B/ D
˛.P 1 .A/ C P 1 .B// C .1 ˛/.P 2 .A/ C P 2 .B// D Œ˛P 1 .A/ C .1 ˛/P 2 .A/ C
Œ˛P 1 .B/ C .1 ˛/P 2 .B/ D P.A/ C P.B/.
43. P.;/ D P.; [ ;/ D P.;/ C P.;/. Ahora cancele uno de los t´ erminos.
c
44. B D .B \ A/ [ .B \ A /, siendo esta uni´ on ajena. Aplicando probabilidad, P.B/ D
c
P.B \ A/ C P.B \ A /. El segundo sumando es P.B A/.
45. La primera desigualdad es evidente. Como A\B A, se tiene que P.A\B/ P.A/.
An´ alogamente como A A [ B, P.A/ P.A [ B/. La siguiente desigualdad es
consecuencia de la f´ ormula P.A [ B/ D P.A/ C P.B/ P.A \ B/. Finalmente la
´ ultima desigualdad se obtiene de P.A/ P.˝/ D 1.
46. El resultado se obtiene de 1 P.A [ B/ D P.A/ C P.B/ P.A \ B/.
c c c
47. a) P.A[B/ D 0:5 . b) P.A / D 0:7 . c) P.A \B/ D 0:2 . d) P.A\B / D
0:3 . e) P.A4B/ D 0:5 .
48. a) Verdadero, pues A \ B A. b) Falso, considere por ejemplo el experimento
de lanzar una moneda equilibrada. Ambos resultados tienen la misma probabilidad
pero evidentemente no son iguales. c) Falso, en el experimento de lanzar un dado
equilibrado, considere por ejemplo los eventos A D f1g y B D f2; 3g. Claramente
P.A/ P.B/ pero A no est´ a contenido en B.
49. a) Verdadero, pues A A [ B.
b) Falso, A y B pueden ser ajenos.
c) Verdadero, P.A[B/ D P.A/CP.B/ P.A\B/ > 1=2C1=2 P.A\B/ D
1 P.A \ B/ 0.
d) Falso, A puede ser ˝.
50. a) Falso. En el experimento de lanzar una moneda equilibrada, sea A el resultado de
obtener una de las caras y B obtener la otra cara. Entonces P.B A/ D P.B/ D
1=2, mientras que P.B/ P.A/ D 1=2 1=2 D 0. El resultado es cierto bajo la
condici´ on A B.
b) Falso, excepto cuando A y B son independientes. Considerando el ejemplo del
inciso anterior, P.A \ B/ D 0, mientras que P.A/P.B/ D 1=2 1=2 D 1=4.
c
c) Verdadero. P.A / D 1 P.A/ < 1 1=2 D 1=2.
d) Falso, A puede ser ˝.
c
e) Cierto pues A B .
51. P.A/ D 2=3.
52. Siguiendo la definici´ on de diferencia sim´ etrica,
P.A4B/ D P..A [ B/ .A \ B// D P.A [ B/ P.A \ B/ D P.A/ C P.B/
P.A \ B/ P.A \ B/ D P.A/ C P.B/ 2P.A \ B/.
53. Por la ley de De Morgan,
c
c
c
P.A \ B / D P..A [ B/ / D 1 P.A [ B/ D 1 .P.A/ C P.B/ P.A \ B//.

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