Page 187 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 177 — #181
i i

A. EJERCICIOS 177

b) Sean 1:7; 1:5; 3; 2:1; 2:5 observaciones independientes de esta funci´ on de
densidad. Use el m´ etodo de m´ axima verosimilitud para estimar el valor
del par´ ametro con base en esta muestra.
c) Usando el valor estimado para , calcule el valor promedio de una v.a. X
con esta funci´ on de densidad.
286. El tiempo aleatorio X que es necesario esperar para que ocurra un cierto
evento de inter´ es siempre es mayor a una constante y tiene la siguiente
funci´ on de densidad
( .x /
e si x ;
f .x/ D
0 otro caso.
a) Compruebe que f .x/ es efectivamente una funci´ on de densidad.
b) Sea X 1 ; X 2 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de esta distribuci´ on. Encuentre
el estimador m´ aximo verosimil para el par´ ametro desconocido .
c) Estime con base en la muestra 7; 5; 9; 6; 5; 8 .
d) Encuentre el valor promedio estimado de este tiempo aleatorio.

Insesgamiento
O
O
287. Sean 1 y 2 dos estimadores insesgados para un par´ ametro .
a) Sea a una constante. Demuestre que el siguiente estimador tambi´ en es
insesgado para :
O
O
O
D a 1 C .1 a/ 2 :
b) Encuentre condiciones sobre las constantes a y b para que el siguiente
estimador sea insesgado:
O
O
O
D a 1 C b 2 :
288. Sea X 1 ; : : : ; X n una m.a. de una poblaci´ on con funci´ on de densidad de pro-
babilidad unif.0; /. Determine si los siguientes estimadores son insesgados
para .
N
O
a) 1 D X.
O
N
b) 2 D 2X.
1
O
c) 3 D .X 1 C X n /.
2
289. Sea X 1 ; : : : ; X n una m.a. de una distribuci´ on cualquiera con media y va-
2
rianza finita . Demuestre que las siguientes estad´ ısticas son estimadores
2
insesgados para .
n
1 X 2
2
a) O D .X i / , suponiendo conocida.
n
iD1
n
1 X
2
N 2
b) S D .X i X/ .
n 1
iD1
i i
i i