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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 178 — #182
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178 A. EJERCICIOS
n 1
1 X
2
2
c) O D .X iC1 X i / .
2.n 1/
iD1
2
290. Sea X 1 ; : : : ; X n una m.a. de una poblaci´ on con media y varianza desco-
2
nocidas. Recuerde que la varianza muestral S se ha definido como sigue:
n
1 X
N 2
2
S D .X i X/ :
n 1
iD1
2
2
a) Demuestre que S es un estimador insesgado para .
b) Demuestre que S no es un estimador insesgado para . Modifique S para
que sea insesgado.
291. Sea X 1 ; : : : ; X n una m.a. de una poblaci´ on con funci´ on de densidad N.0; / y
O
2
2
sea D .X C C X /=n. Demuestre que:
1 n
O
a) E./ D .
O
2
b) Var./ D 2 =n.
292. Sea X 1 ; X 2 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de la funci´ on de densidad
f .x/ D f 1 .x/ C .1 / f 2 .x/;
en donde 2 Œ0; 1 y f 1 .x/ y f 2 .x/ son dos funciones de densidad con medias
distintas 1 y 2 , respectivamente. Demuestre que el siguiente estimador es
insesgado para :
X N 2
O
D :
1 2
Estimaci´ on por intervalos
293. Se sabe que la vida en horas de un foco de 100 watts de cierta marca tiene
una distribuci´ on aproximada normal con desviaci´ on est´ andar D 30 horas.
Se tom´ o una muestra al azar de 50 focos y result´ o que la vida media fue de
1550 horas. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el verdadero
promedio de vida ´ util de estos focos.
294. Se realizan 20 pruebas de resistencia de un cierto material obteni´ endose los
siguientes datos: 2225, 2300, 2217, 2190, 2295, 2285, 2195, 2255, 2232, 2252,
2272, 2231, 2223, 2211, 2219, 2231, 2218, 2262, 2257, 2261. Construya un
intervalo de confianza del 98 % para la resistencia media de este material,
suponiendo una distribuci´ on normal.
295. Suponga que se tiene una muestra aleatoria con funci´ on de densidad de
probabilidad Ber.p/. Se desea obtener un intervalo de confianza al 90 % para
p de tal forma que la longitud del intervalo sea a lo sumo 0:05. ¿Qu´ e tama˜ no
de muestra debe tomarse?
296. En las pruebas de resistencia de cierto tipo de cables, se ha encontrado que
10 de ellos se han roto cuando se les ha aplicado la siguiente tensi´ on en kilo

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