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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 182 — #186
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182 B. SOLUCI ´ ON A LOS EJERCICIOS

Operaciones con conjuntos
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c
6. Sea x en B . Entonces x … B. Por lo tanto x … A, es decir, x 2 A .
7. Sea x en A. Como A D A \ B, x tambi´ en pertenece a B. Por lo tanto todo x elemento
de A es tambi´ en un elemento de B, es decir, A B.
c
8. Sea x en B A. Si tal elemento existe, entonces x … A, es decir, x 2 A .
9. a) Sea x 2 A \ .B [ C/. Entonces x 2 A y x 2 B [ C. La ´ ultima afirmaci´ on puede
descomponerse en: x 2 B ´ o x 2 C, esto incluye el caso de pertenencia a ambos
conjuntos. Si es el primer caso, es decir, si x 2 B, entonces se obtiene que x 2 A \ B,
y por lo tanto x es un elemento del lado derecho de la igualdad. La misma conclusi´ on
se obtiene si x 2 C. Esto demuestra la contenci´ on A\.B [C/ .A\B/[.A\C/.
De manera an´ aloga se prueba la contenci´ on contraria. b) An´ alogo al inciso anterior.
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c
c
c
10. a) Demostraremos la contenci´ on .A [ B/ A \ B . Sea x 2 .A [ B/ . Entonces
c c
x … .A [ B/, esto es, x … A y x … B. Por lo tanto x 2 A y x 2 B . Es decir,
c c
x 2 A \ B . De manera an´ aloga se prueba la contenci´ on contraria y de esa forma se
demuestra la igualdad. b) Pruebe ambas contenciones como en el inciso anterior.
11. Los enunciados son:
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c
c
c
a) .A [ B [ C/ D A \ B \ C .
c
c
c
c
b) b/.A \ B \ C/ D A [ B [ C .
c
c
c
c
Para el primer inciso se tiene que .A[B[C/ D ..A[B/[C/ D .A[B/ \C D
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c
A \ B \ C . De manera an´ aloga se demuestra al segundo inciso.
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c
12. a) A D A \ ˝ D A \ .B [ B / D .A \ B/ [ .A \ B /.
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c
b) A \ .B [ A / D .A \ B/ [ .A \ A / D .A \ B/ [ ; D A \ B.
c
c
c) A [ .B \ A / D .A [ B/ \ .A [ A / D .A [ B/ \ ˝ D A [ B.
c
c
c
c
c
13. a) A .A \ B/ D A \ .A \ B/ D A \ .A [ B / D .A \ A / [ .A \ B / D
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c
; [ .A \ B / D A \ B D A B.
c
c
c
c
b) .A [ B/ B D .A [ B/ \ B D .A \ B / [ .B \ B / D .A \ B / [ ; D
c
A \ B D A B.
c
c
c
14. a) .A \ B/ .A \ C/ D .A \ B/ \ .A \ C/ D .A \ B/ \ .A [ C / D
c
c
c
c
.A\B\A /[.A\B\C / D ;[.A\B\C / D A\.B\C / D A\.B C/:
c
c
c
b) .A C/ \ .B C/ D .A \ C / \ .B \ C / D A \ .B \ C / D .A \ B/ C:
15. Empezando con la segunda identidad, A4B D .A [ B/ .A \ B/ D .A [ B/ \
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c
c
.A \ B/ c D .A [ B/ \ .A [ B / D Œ.A [ B/ \ A  [ Œ.A [ B/ \ B  D
c
c
ŒB \ A  [ ŒA \ B  D .B A/ [ .A B/:
16. Compruebe que ambos lados de la igualdad del inciso (a) corresponden al evento
que se muestra en la Figura B.1. El resto de los incisos se obtiene f´ acilmente de la
definici´ on.
17. El conjunto A es el intervalo Œ 1; 1, B es .0; 1/. Entonces A [ B D Œ 1; 1/,
A \ B D .0; 1, A B D Œ 1; 0 y B A D .1; 1/.
18. Gr´ aficamente los conjuntos A y B son como se muestran en la Figura B.2. Se tiene en-
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tonces que A D Œ 2; 6; B D .1; 1/[.3; 1/; A D .1; 2/[.6; 1/; B D
Œ 1; 3; A \ B D Œ 2; 1/ [ .3; 6; A [ B D R; A B D Œ 1; 3; B A D
.1; 2/ [ .6; 1/; A4B D .1; 2/ [ Œ 1; 3 [ .6; 1/.
19. Gr´ aficamente los conjuntos A y B son los que se muestran en la Figura B.3. Por lo
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tanto A D Œ 3; 1; B D .1; 2/ [ . 2; 1/; A D .1; 3/ [ .1; 1/; B D
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