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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 173 — #177
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A. EJERCICIOS 173

256. Demuestre las siguientes dos propiedades de la covarianza. Esto comprueba
que la covarianza es lineal en cada argumento.
a) Cov.c X; Y / D c Cov.X; Y /, c constante.
b) Cov.X 1 C X 2 ; Y / D Cov.X 1 ; Y / C Cov.X 2 ; Y /.
257. Sean X y Y dos variables aleatorias discretas con funci´ on de probabilidad
conjunta dada por la tabla que aparece abajo. Compruebe que la covarianza
entre X y Y es 1=2.
xny -1 1
-1 3/8 1/8
1 1/8 3/8

258. Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con funci´ on de densidad con-
junta dada por la expresi´ on que aparece abajo. Compruebe que la covarianza
entre X y Y es cero.

4xy si 0 x; y 1;
f .x; y/ D
0 otro caso.

Coeficiente de correlaci´ on
259. Compruebe que el coeficiente de correlaci´ on entre las dos variables aleatorias
discretas X y Y con la siguiente funci´ on de probabilidad conjunta es cero.
xny 0 1
0 1/4 1/4
1 1/4 1/4
260. El siguiente ejemplo muestra dos variables aleatorias cuya covarianza es cero
(y por lo tanto el coeficiente de correlaci´ on tambi´ en lo es) y sin embargo las
variables aleatorias no son independientes: sea X con distribuci´ on uniff1; 0
2
1g y sea Y D X . Demuestre que:
a) Cov.X; Y / D 0.
b) X y Y no son independientes.
261. Sean X 1 ; X 2 ; : : : ; X n variables aleatorias independientes con id´ entica distri-
buci´ on Ber.p/. Demuestre que
a) Cov.X 1 ; X 1 C C X n / D p.1 p/.
p
b) .X 1 ; X 1 C C X n / D 1= n.

Muestras aleatorias y estad´ ısticas
262. Sea X 1 ; X 2 ; X 3 una muestra aleatoria de la distribuci´ on Ber.p/. Encuentre la
distribuci´ on, media y varianza de la estad´ ıstica

X D X 1 C X 2 C X 3 :

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