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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 175 — #179
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A. EJERCICIOS 175

271. El tiempo aleatorio en minutos para la ocurrencia de un cierto evento de inter´ es
se modela mediante una variable aleatoria X con distribuci´ on exponencial de
par´ ametro desconocido > 0. Se efect´ uan 6 observaciones independientes de
esta variable aleatoria obteni´ endose los valores
15; 12; 25; 16; 20; 19 :
a) Use el m´ etodo de momentos para encontrar un estimador del par´ ametro .
b) Calcule el tiempo medio de espera para la ocurrencia del evento en estudio.
272. Dada una muestra aleatoria de tama˜ no n de una poblaci´ on Poisson con par´ ame-
tro desconocido > 0, use el m´ etodo de momentos para encontrar un estima-
dor del par´ ametro .
273. La variaci´ on V de ciertas mediciones se modela mediante una variable aleato-
2
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ria con distribuci´ on N.0; /, en donde es un par´ ametro desconocido.
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a) Con base en la muestra 0:2; 0:5; 0:3; 0:4 estime el valor de por el
m´ etodo de momentos.
b) Calcule la probabilidad de que la variaci´ on exceda en valor absoluto el
nivel 0:2 .
274. Una variable aleatoria de inter´ es X puede tomar los valores 1; 0; 1. Estos
valores pueden corresponder a las categor´ ıas: malo, regular, bueno. Se postula
que esta variable aleatoria tiene la siguiente funci´ on de probabilidad:
(
jxj
. / .1 / 1jxj si x D 1; 0; 1;
f .x/ D 2
0 otro caso,
en donde 2 Œ0; 1 es un par´ ametro. Use el m´ etodo de momentos para estimar
a partir de la muestra particular: 1; 1; 0; 1; 1; 0; 0 .
275. Sean f 1 .x/ y f 2 .x/ dos funciones de densidad conocidas con esperanzas
distintas 1 y 2 , respectivamente. Para cada 2 Œ0; 1 defina la funci´ on de
densidad
f .x/ D f 1 .x/ C .1 / f 2 .x/:
Sean x 1 ; x 2 ; : : : ; x n observaciones independientes provenientes de la densidad
f .x/. Estime el par´ ametro por el m´ etodo de momentos.

M´ etodo de m´ axima verosimilitud

276. Sea X 1 ; X 2 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de la distribuci´ on Ber.p/. Demues-
tre que el estimador m´ aximo veros´ ımil para el par´ ametro desconocido p
N
est´ a dado por Op D X.
277. Dada una muestra aleatoria de tama˜ no n de una poblaci´ on Poisson con par´ ame-
tro > 0, use el m´ etodo de m´ axima verosimilitud para encontrar un estimador
del par´ ametro .
278. Sea X 1 ; : : : ; X n una m.a. de una poblaci´ on con funci´ on de probabilidad
f .x/ D p.1 p/ x 1 para x D 1; 2; : : :

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