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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 176 — #180
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176 A. EJERCICIOS

en donde p 2 .0; 1/ es un par´ ametro. Use el m´ etodo de m´ axima verosimilitud
para encontrar un estimador para p.
279. Sea X 1 ; : : : ; X n una m.a. de una poblaci´ on con funci´ on de densidad
f .x/ D x 1 para 0 < x < 1;
en donde 2 .0; 1/ es un par´ ametro. Use el m´ etodo de m´ axima verosimilitud
para encontrar un estimador para .
280. Sea X 1 ; X 2 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de la distribuci´ on uniforme en el
intervalo Œa; b. Justifique que los estimadores m´ aximo veros´ ımiles para los
par´ ametros a y b pueden ser
O a D mKın fX 1 ; X 2 ; : : : ; X n g;
b O D mKax fX 1 ; X 2 ; : : : ; X n g:
281. Sea X 1 ; X 2 ; : : : ; X m una muestra aleatoria de tama˜ no m de la distribuci´ on
bin.n; p/. Justifique que los estimadores m´ aximo veros´ ımiles para los par´ ame-
tros n y p pueden ser
O n D mKax fX 1 ; X 2 ; : : : ; X m g;
N
O p D X=On:
282. Usando una muestra de tama˜ no n, encuentre el estimador m´ aximo verosi-
mil para el par´ ametro de la distribuci´ on Weibull.˛; /. Considere que el
par´ ametro ˛ es conocido.
( .x/ ˛ ˛ 1
e ˛ .x/ si x > 0;
f .x/ D
0 otro caso.
283. El tiempo de vida ´ util en a˜ nos de un cierto dispositivo se modela como una
variable aleatoria X con funci´ on de densidad
8 3
a
< 3 si x a;
f .x/ D x 4
0 otro caso.
:
a) Encuentre el estimador m´ aximo verosimil para el par´ ametro a, con base
en la muestra de cuatro mediciones: 10:5; 9:3; 11; 11:7 .
b) Calcule el tiempo medio de vida ´ util de uno de estos dispositivos.
284. Usando una muestra de tama˜ no m, encuentre el estimador m´ aximo verosimil
para el par´ ametro de la distribuci´ on gama.n; /. Considere que el par´ ametro
n es conocido.
285. Considere la funci´ on de densidad continua
8
< 2x
f .x/ D 2 si 0 < x < ;
0 otro caso.
:
a) Compruebe que f .x/ es efectivamente una funci´ on de densidad.

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