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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 168 — #172
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168 A. EJERCICIOS
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224. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on N.; /. Demuestre que la
variable Y D aX C b, con a ¤ 0, tambi´ en tiene una distribuci´ on normal.
Encuentre los par´ ametros correspondientes.
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225. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on N.; /. Demuestre que la
variable Y D X tambi´ en tiene una distribuci´ on normal. Encuentre los
par´ ametros correspondientes.
226. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on N.0; 1/. Demuestre que X 2
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tiene una distribuci´ on .1/. p p
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Sugerencia: Para x > 0, F X 2.x/ D P.X x/ D P. x X x/.
227. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on normal est´ andar. Encuentre la
funci´ on de densidad de Y D jXj.
228. Encuentre el primer, segundo y tercer cuartil de la distribuci´ on normal de
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media D 2 y varianza D 5.
229. Una m´ aquina autom´ atica despachadora de refresco est´ a ajustada para llenar
vasos de 300 ml. en promedio. Debido a cuestiones mec´ anicas, el llenado de
los vasos no es enteramente exacto y hay peque˜ nas fluctuaciones. El fabricante
de la m´ aquina sabe que el llenado de los vasos se puede modelar como una
variable aleatoria normal con media de 300 ml. y desviaci´ on est´ andar D 10
ml.
a) ¿Qu´ e fracci´ on de los vasos ser´ an servidos con m´ as de 310 ml?
b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un vaso sea servido entre 290 y 305 ml?
c) Si el restaurant utiliza vasos de 320 ml. ¿qu´ e porcentaje de ellos se derra-
mar´ an?
d) Si los clientes reclaman por vasos servidos con 270 ml. o menos, de mil
clientes, ¿cu´ antos de ellos reclamar´ an?

Distribuci´ on ji cuadrada
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230. Sea X con distribuci´ on .n/. Demuestre que:
a) f .x/ es efectivamente una funci´ on de densidad.
b) E.X/ D n.
c) Var.X/ D 2n.
n
n
m
d) E.X / D 2 m . C m/= . /, para m 0.
2 2
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231. Compruebe que la distribuci´ on .n/ se reduce a la distribuci´ on exp.1=2/
cuando n D 2.
Distribuci´ on t
232. Sea X con distribuci´ on t.n/. Demuestre que:
a) f .x/ es efectivamente una funci´ on de densidad.
b) E.X/ D 0, para n > 1.
c) Var.X/ D n=.n 2/, para n > 2.

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