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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 166 — #170
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166 A. EJERCICIOS

209. Demuestre las siguientes propiedades de la funci´ on gama.
a) .n C 1/ D n .n/.
b) .2/ D .1/ D 1.
c) .n C 1/ D nŠ si n es entero.
p
d) .1=2/ D .

Distribuci´ on beta
210. Sea X con distribuci´ on beta.a; b/. Demuestre que:
a) f .x/ es efectivamente una funci´ on de densidad.
b) E.X/ D a=.a C b/.
2
c) Var.X/ D ab=. .a C b C 1/.a C b/ /.
211. Demuestre las siguientes propiedades de la funci´ on beta.
a) B.a; b/ D B.b; a/.
b) B.a; 1/ D 1=a.
c) B.1; b/ D 1=b.
a
d) B.a C 1; b/ D B.a; b C 1/.
b
a
e) B.a C 1; b/ D B.a; b/.
a C b
b
f) B.a; b C 1/ D B.a; b/.
a C b
g) B.1=2; 1=2/ D .
212. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on beta.a; b/, con a D b D 1.
Demuestre que X tiene una distribuci´ on uniforme en el intervalo .0; 1/.
213. Distribuci´ on arcoseno. Sea X con distribuci´ on beta.1=2; 1=2/. En este caso
se dice que X tiene una distribuci´ on arcoseno
a) Calcule y grafique f .x/.
b) Demuestre que f .x/ es una funci´ on de densidad.
c) Calcule E.X/ y Var.X/.
214. Sea X con distribuci´ on beta.a; b/. Demuestre que:
a) si a > 0 y b D 1, entonces la funci´ on de distribuci´ on de X toma la forma
8
< 0 si x 0;
F.x/ D x a si 0 < x < 1;
1 si x 1:
:
b) si a D 1 y b > 0, entonces la funci´ on de distribuci´ on de X toma la forma
8
< 0 si x 0;
F.x/ D 1 .1 x/ b si 0 < x < 1;
1 si x 1:
:
215. Sea X con distribuci´ on beta.a; b/. Demuestre que para cualquier entero n 0,
B.a C n; b/
n
E.X / D :
B.a; b/

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