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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 165 — #169
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A. EJERCICIOS 165

200. Sea X con distribuci´ on unif.0; 1/. Obtenga la distribuci´ on de la variable
Y D 10X 5.
201. Sea X con distribuci´ on unif.a; b/. Demuestre que la media y la mediana de
X coinciden.

Distribuci´ on exponencial

202. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on exp./. Demuestre que:
a) f .x/ es efectivamente una funci´ on de densidad.
b) E.X/ D 1=.
2
c) Var.X/ D 1= .
203. P´ erdida de memoria. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on exp./.
Demuestre que para cualesquiera n´ umeros x; y 0 se cumple la igualdad que
aparece abajo. La distribuci´ on exponencial es la ´ unica distribuci´ on continua
que satisface esta propiedad llamada de p´ erdida de memoria.
P.X x C y j X x/ D P.X y/:
204. Sea X con distribuci´ on exp./. Demuestre que para cualesquiera n´ umeros
x; y 0,
F.x C y/ D F.x/ C F.y/ F.x/ F.y/:
205. Suponga que el tiempo que un usuario cualquiera permanece conectado a
un servidor en una red de c´ omputo se puede modelar como una variable
aleatoria con distribuci´ on exponencial con media igual a 10 minutos. De mil
usuarios, ¿cu´ antos tienen un conexi´ on superior a una hora? Calcule adem´ as la
probabilidad de que un usuario cualquiera
a) no permanezca conectado mas de 10 minutos.
b) permanezca conectado mas de 10 minutos pero menos de una hora.
206. Discretizaci´ on. Sea X con distribuci´ on exp./. Se puede discretizar esta
variable aleatoria continua de la siguiente forma: sea N una variable discreta
tal que para cada n D 0; 1; 2; : : : se define
P.N D n/ D P.n X n C 1/:
Demuestre que N tiene distribuci´ on geo.p/ con p D 1 e .
207. Sea X con distribuci´ on exponencial. Encuentre el valor del par´ ametro si se
sabe que el cuantil al 75 % es 2.

Distribuci´ on gama

208. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on gama.n; /. Demuestre que:
a) f .x/ es efectivamente una funci´ on de densidad.
b) E.X/ D n=.
2
c) Var.X/ D n= .
m
d) E.X / D .m C n/=. m .n/ /.

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