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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 161 — #165
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A. EJERCICIOS 161

d) Var.X/ D p.1 p/.
166. Sean X 1 y X 2 variables aleatorias con distribuci´ on Ber.p/ e independientes
en el sentido de que los eventos .X 1 D x 1 / y .X 2 D x 2 / son independientes
para cualesquiera valores x 1 y x 2 . Calcule:
a) P.X 1 D 0 j X 1 C X 2 D 1/.
b) P.X 1 D 1 j X 1 C X 2 D 1/.
c) P.X 1 C X 2 D 2 j X 1 D 1/.
167. Sea X con distribuci´ on Ber.p/. Defina la variable aleatoria Y D 2X 1.
a) Encuentre la distribuci´ on de Y .
b) Calcule la esperanza y varianza de Y .
c) Encuentre el n-´ esimo momento de Y .

Distribuci´ on binomial
168. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on bin.n; p/. Demuestre que:
a) f .x/ es efectivamente una funci´ on de probabilidad.
b) E.X/ D np.
c) Var.X/ D np.1 p/.
169. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on bin.n; p/.
a) Determine los valores de n y p cuando E.X/ D 4 y Var.X/ D 2.
b) Determine los valores de n y p cuando E.X/ D u y Var.X/ D v.
170. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on bin.n; p/. Demuestre que la va-
riable Y D n X tiene distribuci´ on bin.n; 1 p/. Proporcione una explicaci´ on
probabilista de este resultado.
171. Sea X con distribuci´ on bin.n; p/. Demuestre que para x D 0; 1; : : : ; n 1,
se cumple la f´ ormula que aparece abajo. Esta expresi´ on permite calcular las
probabilidades de esta distribuci´ on de una forma iterativa.
p .n x/
P.X D x C 1/ D P.X D x/:
.1 p/ .x C 1/
172. Se lanza una moneda equilibrada 6 veces. Calcule la probabilidad de que cada
cara caiga exactamente 3 veces.
173. Se lanza una moneda equilibrada 2n veces. Calcule la probabilidad de que
ambas caras caigan el mismo n´ umero de veces.
174. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on bin.n; p/. Demuestre que
0 Var.X/ E.X/:
175. Suponiendo que es igualmente probable que nazca un hombre (H) o una mujer
(M), y considerando la observaci´ on de 6 nacimientos. ¿Cu´ al de los siguientes
tres eventos es m´ as probable que ocurra?
a) MHHMHM.
b) MMMMHM.
c) HMHMHM.

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