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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 160 — #164
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160 A. EJERCICIOS

Cuantiles
158. Calcule los cuatro cuartiles de la variable aleatoria continua X con funci´ on de
densidad

2x si 0 < x < 1;
f .x/ D
0 otro caso.
159. Calcule los cuatro cuartiles de la variable aleatoria discreta X con funci´ on de
probabilidad

1=5 si x D 2; 1; 0; 1; 2;
f .x/ D
0 otro caso.
160. Calcule el cuantil al 75 % para una variable aleatoria discreta con funci´ on de
probabilidad
1
8
si x D 1; 2; 3; : : :
<
f .x/ D x.x C 1/
0 otro caso:
:
161. Proporcione un ejemplo de una distribuci´ on de probabilidad discreta tal que
los cuantiles al 25 % y 75 % coincidan.
Distribuci´ on uniforme discreta
162. Sea X con distribuci´ on uniforme en el conjunto f1; : : : ; ng. Demuestre que
a) E.X/ D .n C 1/=2.
2
b) E.X / D .n C 1/.2n C 1/=6.
c) Var.X/ D .n 2 1/=12.
163. Se escogen completamente al azar y de manera independiente dos n´ umeros a
y b dentro del conjunto f1; 2; : : : ; 9; 10g. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el
cociente a=b sea menor a uno?
164. Sean X y Y variables aleatorias con la misma distribuci´ on uniforme en el
conjunto f1; 2; : : : ; 100g. Suponga que estas variables son independientes, es
decir, los eventos .X D x/ y .Y D y/ son independientes para cualquier
valor de x y y. Calcule la probabilidad del evento:
a) .X D Y /.
b) .X Y /.
c) .X C Y 50/.
d) .X Y 10/.

Distribuci´ on Bernoulli
165. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on Ber.p/. Demuestre que
a) f .x/ es efectivamente una funci´ on de probabilidad.
b) E.X/ D p.
n
c) E.X / D p; para n 1.

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