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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 158 — #162
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158 A. EJERCICIOS

a) Determine el valor de la constante c.
b) Calcule la funci´ on de distribuci´ on.

Esperanza, varianza, momentos
144. Sea a un n´ umero fijo. Construya una variable aleatoria X tal que E.X/ D a.
145. Calcule la esperanza de la variable aleatoria discreta X cuya funci´ on de
probabilidad es:
8
< 1=3 si x D 0; 1;
a) f .x/ D 1=6 si x D 2; 3;
0 otro caso.
:
8
< 1=4 si x D 1; 1;
b) f .x/ D 1=2 si x D 0;
0 otro caso.
:
146. Calcule la esperanza de la variable aleatoria continua X cuya funci´ on de
densidad es:
a) f .x/ D e x ; para x > 0.
b) f .x/ D 6x.1 x/; para 0 < x < 1.
147. Sea X una variable aleatoria discreta con la funci´ on de probabilidad que
aparece abajo. Demuestre que f .x/ es efectivamente una probabilidad de
densidad y que la esperanza de X no existe. Este es un ejemplo de una
variable aleatoria discreta que no tiene esperanza finita.
8
1
< si x D 1; 2; 3; : : :
f .x/ D x.x C 1/
0 otro caso:
:
148. Sea X una variable aleatoria continua con la funci´ on de densidad que aparece
abajo. Demuestre que esta funci´ on es efectivamente una funci´ on de densidad.
Compruebe adem´ as que la esperanza de X no existe. Este es un ejemplo
de una variable aleatoria continua que no tiene esperanza finita. Es un caso
particular de la distribuci´ on Cauchy.
1
f .x/ D ; para 1 < x < 1:
2
.1 C x /
149. Diga falso o verdadero. Justifique su respuesta en cada caso.
a) La esperanza de una v.a. puede ser cero.
b) No hay dos v.a.s distintas con la misma esperanza.
c) La esperanza de una v.a. nunca es negativa.
d) La varianza de una v.a. puede ser cero.
e) La varianza de una v.a. nunca es negativa.
f) No hay dos v.a.s distintas con la misma varianza.
150. Demuestre que
a) E.E.X// D E.X/.

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