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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 152 — #156
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152 A. EJERCICIOS

b) el conjunto ˝ es independiente consigo mismo.
105. Diga falso o verdadero. Justifique su respuesta en cada caso.
a) A; B independientes ) A; B ajenos.
b) A; B ajenos ) A; B independientes.
106. Sea A un evento cualquiera. Demuestre que:
a) A y ; son eventos independientes.
b) A y ˝ son eventos independientes.
107. Sean A y B eventos independientes. Demuestre que

c
c
P.A [ B/ D 1 P.A /P.B /:
108. Diga falso o verdadero. Justifique su respuesta en cada caso.
a) A; B independientes ) B; A independientes.
b) Para cualquier evento A, A es independiente con A.
c) A; B independientes y B; C independientes ) A; C independientes.
109. Sean A y B eventos independientes tales que P.A/ D p 1 y P.B/ D p 2 .
Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de estos eventos.
110. Sean A y B eventos independientes y ajenos. Demuestre que forzosamente
alguno de estos eventos tiene probabilidad cero.
111. Considere un experimento aleatorio con espacio muestral ˝ D .0; 1/. Defi-
nimos la probabilidad de un intervalo .a; b/ .0; 1/ como P.a; b/ D b a.
Encuentre eventos A y B tales que
a) sean independientes y ajenos.
b) sean independientes pero no ajenos.
c) sean ajenos pero no independientes.
d) sean no ajenos y no independientes.
112. ¿Cu´ antas igualdades son necesarias verificar para demostrar que n eventos
son independientes? Justifique su respuesta.
113. Regla del producto. Sean A 1 ; : : : ; A n eventos tales que la probabilidad del
evento A 1 \ \ A n 1 es estrictamente positiva. Compruebe que
P.A 1 \ \ A n / D P.A 1 / P.A 2 j A 1 / P.A 3 j A 1 \ A 2 /
P.A n j A 1 \ \ A n 1 /:

114. La urna de Polya. El siguiente experimento se conoce como la urna de
Polya. Suponga que en una urna se tienen b bolas blancas y r bolas rojas. Un
experimento aleatorio consiste en seleccionar una bola al azar y regresarla a la
urna junto con c bolas del mismo color. Use la regla del producto para calcular
la probabilidad de obtener bolas rojas en las tres primeras extracciones.

Teorema de probabilidad total
115. La urna de Polya. Suponga que en una urna se tienen b bolas blancas y r
bolas rojas. Un experimento aleatorio consiste en seleccionar una bola al azar

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