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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 140 — #144
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140 2. ESTAD ´ ISTICA

Prueba: H 0 W 1 2 D ı vs H 1 W 1 2 > ı
r 2 2
N
N
Estad´ ıstica de prueba: Z D .X 1 X 2 ı/= 1 C 2
n 1 n 2
Regi´ on de rechazo: Z ´ ˛ , (prueba de cola superior)
Error tipo I: ˛
r
2 2
Error tipo II: ˚.´ ˛ C .ı ı 1 /= 1 C 2 /, ı 1 > ı.
n 1 n 2
EJEMPLO 2.55. En una muestra aleatoria, el tiempo promedio en el que 50 mujeres
terminaron una prueba escrita fue de 30 minutos, mientras que 45 hombres terminaron
la prueba en un promedio de 35 minutos. Para fines ilustrativos supondremos una
varianza de 9 unidades en ambas poblaciones. ¿Hay alguna diferencia entre hombres
y mujeres en el tiempo promedio real para concluir la prueba? Para contestar a esta
pregunta podemos llevar a cabo la prueba de hip´ otesis

H 0 W 1 2 D 0 vs H 1 W 1 2 ¤ 0;
en donde 1 corresponde a la media de la poblaci´ on de mujeres, y 2 a la media de la
poblaci´ on de hombres. Con lo datos recabados la estad´ ıstica de la prueba toma el valor

N x 1 N x 2 ı
D 8:11 :
´ D r
2 2
1 C 2
n 1 n 2
Con ˛ D 0:10 se tiene que ´ ˛=2 D 1:65. Entonces j´j ´ ˛=2 y por lo tanto se rechaza
la hip´ otesis nula, es decir, las poblaciones de hombres y mujeres muestran tiempos
promedios diferentes para terminar la prueba escrita.

Prueba acerca de la varianza de una distribuci´ on normal
Consideremos nuevamente una muestra aleatoria X 1 ; : : : ; X n proveniente de n ob-
servaciones de una variable aleatoria con distribuci´ on normal con media y varianza
desconocidas. Nos interesa ahora encontrar un mecanismo para probar la hip´ otesis de
2
2
que la varianza es igual a un valor especificado o no lo es. Es decir, las hip´ otesis
0
que nos interesa contrastar son
2
2
2
H 0 W D 0 2 vs H 1 W ¤ ;
0
2
2
vs H 1 W < ;
0
2
2
vs H 1 W > :
0
Un mecanismo para encontrar una regla de decisi´ on para estas pruebas hace uso del
resultado te´ orico que establece que la variable aleatoria
.n 1/S 2
2
WD
0 2
0
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