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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 138 — #142
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138 2. ESTAD ´ ISTICA
2
2 y varianza conocida . Observe que el tama˜ no de las muestras puede ser distinto.
2
En esta secci´ on encontraremos un criterio para llevar a cabo las siguientes pruebas de
hip´ otesis
H 0 W 1 2 D ı vs H 1 W 1 2 ¤ ı;
vs H 1 W 1 2 < ı;
vs H 1 W 1 2 > ı;

en donde ı es una constante. Mediante estas pruebas se puede decidir si las medias
de las dos poblaciones normales difieren en la constante ı o en una cantidad diferente.
Consideraremos primero el caso
H 0 W 1 2 D ı vs H 1 W 1 2 ¤ ı:
N
N
Denotaremos por X 1 a la media muestral de la primera muestra, y por X 2 a la media
N
N
2
de la segunda muestra. Sabemos que X 1 tiene distribuci´ on N. 1 ; =n 1 / y X 2 tiene
1
2
distribuci´ on N. 2 ; =n 2 /. Entonces
2
2 2
N N 1 2
X 1 X 2 N. 1 2 ; C /:
n 1 n 2
Este es el resultado que nos llevar´ a a encontrar una regla para decidir cu´ ando rechazar
H 0 en favor de H 1 , con base en los datos de la muestra aleatoria. Cuando H 0 es cierta,
N N 2
esto es, cuando 1 2 D ı, tenemos que X 1 X 2 tiene distribuci´ on N.ı; =n 1 C
1
2
=n 2 /, y por lo tanto
2
N N
X 1 X 2 ı
N.0; 1/:
Z D r
2 1 C 2 2
n 1 n 2
N N
La estad´ ıstica Z es nuevamente una medida natural de la distancia entre X 1 X 2 y ı.
Es entonces razonable rechazar H 0 W 1 2 D ı cuando la variable Z sea grande.
Es por ello que tomamos como criterio de decisi´ on rechazar H 0 cuando jZj k, para
cierta constante k. En una tabla de la distribuci´ on normal est´ andar podemos encontrar
un valor ´ ˛=2 tal que P.jZj ´ ˛=2 / D ˛, en donde ˛ es el error tipo I. Este valor ´ ˛=2
es la constante k buscada y con ello se logra que la regi´ on de rechazo sea de tama˜ no ˛.
Los detalles de esta prueba se resumen en la siguiente tabla.
Prueba: H 0 W 1 2 D ı vs H 1 W 1 2 ¤ ı
r 2 2
N
N
Estad´ ıstica de prueba: Z D .X 1 X 2 ı/= 1 C 2
n 1 n 2
Regi´ on de rechazo: jZj ´ ˛=2 , (prueba de dos colas)
Error tipo I: ˛
r
2 2
Error tipo II: ˚.´ ˛=2 C .ı ı 1 /= 1 C 2 /
n 1 n 2
r
2 2
˚. ´ ˛=2 C .ı ı 1 /= 1 C 2 /, ı 1 ¤ ı.
n 1 n 2
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