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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 131 — #135
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8. PRUEBAS DE HIP ´ OTESIS 131

p D p 0 ,
ˇ.p 0 / D P. “No rechazar H 0 cuando p D p 0 ” /
D P. j Op 1=2j < d j p D p 0 /
D P. d < Op 1=2 < d j p D p 0 /
D P. 1=2 d < Op < 1=2 C d j p D p 0 /
1=2 d p 0 1=2 C d p 0
/
P. p < Z < p
p 0 .1 p 0 /=100 p 0 .1 p 0 /=100
1=2 C d p 0 1=2 d p 0
/ /:
D ˚.p ˚.p
p 0 .1 p 0 /=100 p 0 .1 p 0 /=100
Observe que hemos aplicado el teorema central del l´ ımite al hacer la aproximaci´ on. De
esta forma el error tipo II queda expresado como una funci´ on del valor de p 0 distinto
de 1=2.
Habiendo establecido las ideas principales y la notaci´ on que usaremos, podemos
ahora mostrar la forma en la que se pueden encontrar algunas reglas de decisi´ on para
ciertas pruebas de hip´ otesis en estad´ ıstica.

Prueba acerca de la media de una distribuci´ on normal con varianza conocida

Sea X 1 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de una poblaci´ on normal con media desconocida
2
2
N
y varianza conocida . Sabemos que X tiene distribuci´ on N.; =n/. Por lo tanto,
X N
p N.0; 1/:
= n
Sea 0 un n´ umero real particular. Deseamos contrastar las hip´ otesis
H 0 W D 0 vs H 1 W ¤ 0 :
El problema es encontrar una regla para decidir cu´ ando rechazar H 0 en favor de H 1
con base en los datos de la muestra aleatoria. Cuando H 0 es cierta, esto es, cuando
N
2
es efectivamente 0 , tenemos que X N. 0 ; =n/ y por lo tanto
X N 0
p N.0; 1/:
= n
La estad´ ıstica Z D N X 0 N
p es una medida natural de la distancia entre X (un estimador
= n
de ), y su valor esperado 0 cuando H 0 es cierta. Es entonces razonable rechazar H 0
cuando la variable Z sea grande. Es por ello que tomamos como criterio de decisi´ on
rechazar H 0 cuando jZj k, para cierta constante k. ¿C´ omo encontramos el n´ umero
k? En una tabla de la distribuci´ on normal podemos encontrar un valor ´ ˛=2 tal que
P.jZj ´ ˛=2 / D ˛, en donde ˛ lo determina la persona que lleva a cabo la prueba de
hip´ otesis, t´ ıpicamente ˛ D 0:1 . V´ ease la Figura 2.16. Este valor ´ ˛=2 es precisamente
la constante k buscada pues con ello se logra que la regi´ on de rechazo sea de tama˜ no ˛.

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