Page 137 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 127 — #131
i i

8. PRUEBAS DE HIP ´ OTESIS 127

DEFINICI ´ ON 2.47. Una hip´ otesis estad´ ıstica o simplemente hip´ otesis es una
afirmaci´ on o conjetura acerca de la distribuci´ on de una o mas variables aleatorias.
Una hip´ otesis es simple si especifica por completo la distribuci´ on de probabilidad en
cuesti´ on, en caso contrario, la hip´ otesis se llama compuesta.

EJEMPLO 2.48.

a) Si X tiene una distribuci´ on bin.n; p/, entonces la afirmaci´ on “p D 0:2” es
una hip´ otesis.
2
b) Si X tiene una distribuci´ on N.; /, entonces la afirmaci´ on “ > 0” es otro
ejemplo de hip´ otesis estad´ ıstica.

EJEMPLO 2.49.
a) Si X tiene una distribuci´ on exp./, entonces la afirmaci´ on “ D 5” es una
hip´ otesis simple.
b) Si X tiene una distribuci´ on N.; 1/, entonces la afirmaci´ on “ D 0” es otro
ejemplo de hip´ otesis simple.
c) Si X tiene una distribuci´ on Poisson./, entonces “ > 20” es una hip´ otesis
compuesta.
2
d) Si X tiene una distribuci´ on .n/, entonces “n ¤ 5” es otro ejemplo de una
hip´ otesis compuesta.

En general, contrastaremos dos hip´ otesis de acuerdo al siguiente esquema y nota-
ci´ on.

H 0 W .hip´ otesis nula/ vs H 1 W .hip´ otesis alternativa/:

Tanto la hip´ otesis nula (H 0 ) como la hip´ otesis alternativa (H 1 ) pueden ser simple
o compuesta. De este modo tenemos cuatro diferentes tipos de contraste de hip´ ote-
sis: simple vs simple, simple vs compuesta, compuesta vs simple, y compuesta vs
compuesta.

DEFINICI ´ ON 2.50. Una prueba de hip´ otesis es una regla para decidir si se acepta
la hip´ otesis nula o se rechaza en favor de la hip´ otesis alternativa.

Como hemos mencionado, al tomar una decisi´ on en una prueba de hip´ otesis se
corre el riesgo de cometer errores. Rechazar la hip´ otesis nula cuando ´ esta es verdadera
es el error tipo I y la probabilidad de cometer este tipo de error se le denota por la letra
˛. En cambio, no rechazar la hip´ otesis nula cuando ´ esta es falsa es el error tipo II y a la
probabilidad de cometer este segundo tipo de error se le denota por la letra ˇ. Estas
definiciones de errores y sus probabilidades se resumen en la siguiente tabla.

i i

i i