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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 129 — #133
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8. PRUEBAS DE HIP ´ OTESIS 129

FIGURA 2.14

Denotemos por X 1 ; X 2 ; : : : ; X 100 los resultados de estos lanzamientos, en donde
para el i-´ esimo lanzamiento

1 si la moneda cae cruz,
X i D
0 si la moneda cae cara.
Es decir, cada variable X i tiene distribuci´ on Bernoulli de par´ ametro p, en donde p es
la probabilidad desconocida de obtener cruz en cada lanzamiento. Deseamos llevar a
cabo la prueba de hip´ otesis

H 0 W p D 1=2 vs H 1 W p ¤ 1=2:

Denotemos por Op a la media muestral .X 1 C C X 100 /=100. Por la ley de los
grandes n´ umeros, este estimador se acerca al verdadero valor de p cuando el n´ umero
de lanzamientos es cada vez m´ as grande, y por lo tanto es una aproximaci´ on de p.
Cuando Op diste mucho de 1=2 es natural pensar que la moneda no est´ a equilibrada. Es
por ello que el criterio de decisi´ on buscado consiste en rechazar la hip´ otesis H 0 cuando

j Op 1=2 j d;

para alg´ un valor num´ erico de d que encontraremos a continuaci´ on estableciendo un
valor particular para la probabilidad del error tipo I. En el caso cuando H 0 es cierta,
pero se toma la decisi´ on de rechazar H 0 , se est´ a en la situaci´ on de cometer el error tipo
I, y establecemos que la probabilidad de que ello ocurra es ˛, igual 0:01 por ejemplo,
es decir,

P.j Op 1=2 j d/ D 0:01 :

A partir de esta ecuaci´ on encontraremos el valor de d haciendo uso del hecho de que,
cuando H 0 es verdadera, es decir, p D 1=2, el estimador Op tiene distribuci´ on aproxi-
mada normal de media 1=2, varianza p.1 p/=n D .1=2/.1 1=2/=100 D 0:025, y
p
desviaci´ on est´ andar 0:025 D 0:05 . Por lo tanto, . Op 1=2/=0:05 tiene distribuci´ on
aproximada normal est´ andar. Con esta informaci´ on podemos ahora encontrar el valor

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