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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 124 — #128
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124 2. ESTAD ´ ISTICA

distribuci´ on normal est´ andar un valor ´ ˛=2 tal que
O p p
(13) P. ´ ˛=2 p ´ ˛=2 / 1 ˛:
p.1 p/=n
La intenci´ on es despejar el valor de p en las desigualdades que definen a este evento,
y presentamos a continuaci´ on tres formas en que tal tarea puede llevarse a cabo de
manera aproximada.
a) Una simplificaci´ on al problema planteado consiste en substituir el denomina-
dor p.1 p/=n por la estimaci´ on puntual Op.1 O p/=n. Esto lleva a obtener
el intervalo aproximado
p p
O
P. Op ´ ˛=2 p.1 O p/=n p Op C ´ ˛=2 p.1 O p/=n/ 1 ˛:
O
p
O
La longitud del intervalo es ` D 2 ´ ˛=2 p.1 O p/=n.
b) Otra alternativa para despejar el par´ ametro p en (13) es usar la desigualdad
p.1 p/ 1=4, la cual es v´ alida para valores de p entre cero y uno. De esta
p p
forma se tiene la estimaci´ on p.1 p/=n 1=.2 n/, y en consecuencia
despejar el par´ ametro p de (13) produce el siguiente intervalo aproximado
con longitud mayor al presentado anteriormente
p p
P. Op ´ ˛=2 =.2 n/ p Op C ´ ˛=2 =.2 n// 1 ˛:
p
La longitud del intervalo es ` D ´ ˛=2 = n.
c) Como una tercera alternativa, observemos que el evento en cuesti´ on puede
p
escribirse como .j Op pj ´ ˛=2 p.1 p/=n/. Elevando al cuadrado y
desarrollando se llega a la desigualdad
2
2
p .1 C ´ 2 =n/ C p. 2 Op ´ 2 =n/ C Op 0:
˛=2 ˛=2
Las ra´ ıces de esta ecuaci´ on cuadr´ atica en p son p 1 D Op=.1 C ´ 2 =n/ y
˛=2
p 2 D . Op C ´ 2 =n/=.1 C ´ 2 =n/. Por lo tanto, la ecuaci´ on cuadr´ atica es
˛=2 ˛=2
no positiva cuando p 1 p p 2 , es decir, se tiene entonces el intervalo de
confianza no sim´ etrico
P. Op=.1 C ´ 2 ˛=2 =n/ p . Op C ´ 2 ˛=2 =n/=.1 C ´ 2 ˛=2 =n// D 1 ˛:

En este caso la longitud del intervalo es ` D ´ 2 =.n C ´ 2 /.
˛=2 ˛=2
EJEMPLO 2.45. Se han inspeccionado 92 art´ ıculos producidos por una cierta
maquinaria de los cuales 7 resultaron con alg´ un tipo de defecto. Encuentre un intervalo
de confianza al 90 % para la proporci´ on de art´ ıculos defectuosos producidos por la
maquinaria en estudio.
Soluci´ on. Usaremos el intervalo aproximado dado por

p p
O
O
P. Op ´ ˛=2 p.1 O p/=n p Op C ´ ˛=2 p.1 O p/=n/ 1 ˛;

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