Page 133 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 123 — #127
i i

7. ESTIMACI ´ ON POR INTERVALOS 123

antes mencionado. Para cualquier valor de ˛ 2 .0; 1/ podemos encontrar un valor ´ ˛=2
en tablas de probabilidad normal est´ andar tal que

X N
P. ´ ˛=2 < p < ´ ˛=2 / 1 ˛:
S= n
Despejando nuevamente la constante desconocida se obtiene
S S
N
P. X N ´ ˛=2 p < < X C ´ ˛=2 p / 1 ˛:
n n
S
N
S
De esta forma, el intervalo .X N ´ ˛=2 p ; X C ´ ˛=2 p / es un intervalo de confianza
n n
aproximado para el par´ ametro desconocido pues contiene a dicho par´ ametro con
probabilidad 1 ˛. Observe nuevamente que todas las expresiones que aparecen en
este intervalo son conocidas.
A manera de resumen se tiene la siguiente tabla.
Hip´ otesis Intervalo para la media

Distribuci´ on normal

2
varianza conocida P. N X ´ ˛=2 p < < N X C ´ ˛=2 p / D 1 ˛.
n
n
Distribuci´ on normal
S
S
2
varianza desconocida P. N X t ˛=2;n 1 p < < N X C t ˛=2;n 1 p / D 1 ˛.
n n
Cualquier distribuci´ on Intervalo aproximado:
S
S
muestra grande, n 30 P. N X ´ ˛=2 p < < N X C ´ ˛=2 p / 1 ˛.
n
n
Intervalo aproximado para una probabilidad o proporci´ on desconocida
Sea A un evento de inter´ es de un experimento aleatorio cualquiera y sea p la probabi-
lidad de dicho evento, la cual consideraremos desconocida. Deseamos encontrar un
intervalo de confianza para estimar esta probabilidad. Supongamos que se realiza una
sucesi´ on de repeticiones independientes del experimento aleatorio y que nos interesa
observar la ocurrencia (valor uno) o no ocurrencia (valor cero) del evento de inter´ es en
cada uno de estos ensayos. Sean X 1 ; : : : ; X n los resultados de estas observaciones, es
decir, cada una de estas variables aleatorias tiene distribuci´ on Bernoulli de par´ ametro
p. Sea X D X 1 C C X n . Entonces X tiene distribuci´ on bin.n; p/. Un estimador
puntual para p es Op D X=n, en donde E. Op/ D p y Var. Op/ D p.1 p/=n. Por el
teorema central del l´ ımite, la variable aleatoria Op tiene una distribuci´ on aproximada
N.p; p.1 p/=n/. Por lo tanto puede encontrarse en tablas de probabilidad de la

i i

i i