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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 120 — #124
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120 2. ESTAD ´ ISTICA
2
par´ ametro . Como cada una de las variables de la muestra tiene distribuci´ on N.; /,
2
N
la media muestral X D 1 P n X i tiene distribuci´ on N.; =n/. De modo que,
n iD1
estandarizando,
X N
p N.0; 1/:
= n
En esta situaci´ on, esta es la cantidad pivotal que nos ayudar´ a a encontrar un intervalo
de confianza para , y explicaremos a continuaci´ on el procedimiento. Para cualquier
valor de ˛ 2 .0; 1/ podemos encontrar un valor ´ ˛=2 en tablas de probabilidad normal
est´ andar, v´ ease la Figura 2.10, tal que
X N
P. ´ ˛=2 < p < ´ ˛=2 / D 1 ˛:
= n

f .x/
1 ˛

˛=2 ˛=2

x
´ ˛=2 ´ ˛=2

FIGURA 2.10

Despejando la constante desconocida se obtiene el siguiente resultado.
PROPOSICI ´ ON 2.41. Un intervalo de confianza al .1 ˛/100 % para la media de
2
una distribuci´ on normal con varianza conocida est´ a dado por la siguiente expresi´ on

N
(11) P. X N ´ ˛=2 p < < X C ´ ˛=2 p / D 1 ˛:
n n
N

De esta forma, el intervalo .X N ´ ˛=2 p ; X C ´ ˛=2 p / es un intervalo de
n n
confianza para el par´ ametro desconocido , pues contiene a dicho par´ ametro con
probabilidad 1 ˛. Observe que todas las expresiones que aparecen en este intervalo
son conocidas. Ilustraremos la aplicaci´ on de esta f´ ormula mediante un ejemplo.
EJEMPLO 2.42. Suponga que la vida promedio ´ util, medida en horas, de focos de
100 watts producidos por cierta compa˜ n´ ıa, puede ser modelada mediante una variable
2
aleatoria con distribuci´ on normal de media y varianza . Suponga que la desviaci´ on
est´ andar es conocida y es igual a 30 horas. El objetivo es encontrar un intervalo de
confianza para la vida promedio ´ util de los focos producidos por esta compa˜ n´ ıa. Para
ello se toma una muestra de 20 focos y mediante pruebas de laboratorio se determina la
vida ´ util de cada uno de ellos. Los resultados x 1 ; : : : ; x 20 arrojan una media muestral

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