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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 119 — #123
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7. ESTIMACI ´ ON POR INTERVALOS 119

DEFINICI ´ ON 2.40. Sea ˛ 2 .0; 1/. Un intervalo de confianza para un par´ ametro
desconocido de una distribuci´ on de probabilidad es un intervalo aleatorio de la forma
O
O
O
O
. 1 ; 2 /, en donde 1 y 2 son estad´ ısticas (funciones de una muestra aleatoria) tales
que
O
O
(10) P. 1 < < 2 / D 1 ˛:
O
O
A las estad´ ısticas 1 y 2 se les conoce como l´ ımites inferior y superior, respec-
tivamente, del intervalo de confianza. Al n´ umero 1 ˛ se le conoce como grado o
coeficiente de confianza. En general, se toma el valor de ˛ cercano a 0 de tal forma que
el grado de confianza, 1 ˛, es cercano a 1. En la pr´ actica es com´ un tomar ˛ D 0:05,
de modo que el grado de confianza es 1 ˛ D 0:95 . Decimos entonces que el grado de
O
O
confianza es del 95 %. Observe que las estad´ ısticas 1 y 2 dependen de una muestra
aleatoria X 1 ; : : : ; X n , de modo que al tomar estas variables aleatorias distintos valores
se generan distintos intervalos de confianza. Esta situaci´ on se ilustra en la Figura 2.9.

FIGURA 2.9. Intervalos.

Observe adem´ as que no es correcto decir “la probabilidad de que pertenezca
O
O
al intervalo . 1 ; 2 / es 1 ˛”, pues el par´ ametro no es el elemento aleatorio. En
O
O
cambio, se dice “la probabilidad de que el intervalo . 1 ; 2 / contenga el valor de
es 1 ˛”. De esta forma se entiende que es constante, aunque desconocido, y el
intervalo es el que cambia dependiendo de la muestra. Naturalmente el problema es
O
O
encontrar 1 y 2 de tal forma que la igualdad (10) se cumpla. La idea general es
encontrar una funci´ on de la muestra y del par´ ametro desconocido q.X 1 ; : : : ; X n I /,
con distribuci´ on de probabilidad completamente conocida a partir de la cual pueda
encontrarse un intervalo de confianza para . A tal funci´ on se le llama cantidad pivotal.
En los siguientes p´ arrafos mostraremos la forma de resolver este problema en algunos
casos particulares.
Intervalo para la media de una distribuci´ on normal con varianza conocida
Sea X 1 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de una poblaci´ on normal con media desco-
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nocida y varianza conocida . Encontraremos un intervalo de confianza para el

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