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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 121 — #125
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7. ESTIMACI ´ ON POR INTERVALOS 121

N x de 1050 horas. Si consideramos un nivel de confianza del 95 %, es decir, ˛ D 0:05,
de la tabla de probabilidad normal se encuentra que ´ ˛=2 D ´ 0:025 D 1:96, y entonces
puede ahora calcularse el intervalo
30 30
. Nx ´ ˛=2 p ; Nx C ´ ˛=2 p / D .1050 1:96 p ; 1050 C 1:96 p /
n n 20 20
D .1050 13:148; 1050 C 13:148/
D .1036:852; 1063:148/:
De esta forma, con una confianza del 95 %, podemos afirmar que la vida promedio ´ util
de este tipo de focos es de 1050 ˙ 13:148 horas.

Observe que la longitud del intervalo aleatorio que aparece en (11) es

2´ ˛=2 p :
n
De aqu´ ı pueden obtenerse varias observaciones interesantes:
a) La longitud del intervalo decrece conforme el tama˜ no de la muestra crece, es
decir, mientras mayor informaci´ on se tenga m´ as preciso es el intervalo. En el
l´ ımite cuando n ! 1, el intervalo se colapsa en el estimador puntual Nx.
b) Si la confianza requerida crece, es decir, si 1 ˛ aumenta, entonces ´ ˛=2
crece, v´ ease la Figura 2.10, y por lo tanto la longitud del intervalo tambi´ en
crece.
c) Si la dispersi´ on de los datos es alta, es decir, desviaci´ on est´ andar grande,
entonces la longitud del intervalo tiende a ser grande.
EJEMPLO 2.43. Un intervalo de confianza al 90 % para la media de una poblaci´ on
normal con D 5 cuando se ha tomado una muestra de tama˜ no 25 cuya media muestral
es 60 est´ a dado por
5 5
. Nx ´ ˛=2 p ; Nx C ´ ˛=2 p / D .60 1:65p ; 60 C 1:65p /
n n 25 25
D .58:35; 61:65/:

Intervalo para la media de una distribuci´ on normal con varianza desconocida

Sea X 1 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de una distribuci´ on normal con media descono-
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cida pero ahora con varianza desconocida . El resultado te´ orico fundamental en la
siguiente derivaci´ on es que la variable aleatoria
X N
T D p
S= n
tiene una distribuci´ on t con n 1 grados de libertad. Observe que esta es la distribuci´ on
exacta de la variable T , sin importar el tama˜ no de la muestra y sobre todo, sin suponer
que la varianza de la muestra es conocida. A partir de lo anterior podemos construir
un intervalo de confianza para el par´ ametro desconocido de forma an´ aloga al caso

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