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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 116 — #120
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116 2. ESTAD ´ ISTICA

misma. Id´ entica situaci´ on se presentar´ a en los ejemplos que a continuaci´ on se exponen.
Por otro lado, es ´ util observar que el procedimiento de maximizaci´ on utilizando deriva-
das es v´ alido cuando el par´ ametro correspondiente puede tomar un continuo de valores,
la funci´ on de verosimilitud sea diferenciable y cuando tal m´ aximo exista.

EJEMPLO 2.34. Sea X 1 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de una poblaci´ on con
distribuci´ on geo.p/. Comprobaremos que el estimador por m´ axima verosimilitud para
N
el par´ ametro p est´ a dado por Op D 1=.1 C X/. La funci´ on de verosimilitud es
L.p/ D f X 1 .x 1 / f X n .x n /
D p .1 p/ x 1 p .1 p/ x 1
n
n Nx
D p .1 p/ :
Tomando logaritmo,
ln L.p/ D n ln p C n Nx ln.1 p/:
Derivando respecto a p e igualando a cero se llega a la ecuaci´ on

n n Nx
D 0;
p 1 p
N
de donde se obtiene p D 1=.1 C Nx/. El estimador es entonces Op D 1=.1 C X/.
EJEMPLO 2.35 (Estimaci´ on de dos par´ ametros). Encontraremos los estimadores
2
de m´ axima verosimilitud para los par´ ametros y de una distribuci´ on normal. Por
definici´ on, la funci´ on de verosimilitud es
2
L.; / D f X 1 .x 1 / f X n .x n /
1 2 2 1 2 2
D p e .x 1 / =2 p e .x n / =2
2 2 2 2
1 n 1 P n .x i / 2
D .p / e 2 2 iD1 :
2 2
Nuevamente el logaritmo de esta funci´ on es m´ as sencillo de maximizar. Tenemos que
n
n 2 1 X 2
2
ln L.; / D ln.2 / .x i / :
2 2 2
iD1
Por lo tanto,
n
@ 2 1 X
ln L.; / D .x i /;
@ 2
iD1
n
@ 2 n 1 X 2
ln L.; / D C .x i / :
@ 2 2 2 2 4
iD1

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