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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 117 — #121
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6. ESTIMACI ´ ON PUNTUAL 117

Igualando a cero ambas derivadas encontramos un sistema de dos ecuaciones con dos
variables:
n
1 X
.x i / D 0;
2
iD1
n
n 1 X 2
C .x i / D 0:
2 2 2 4
iD1
2
2
De estas ecuaciones se obtiene D 1 P n x i , y D 1 P n .x i O / . Por lo
n iD1 n iD1
2
tanto los estimadores para los par´ ametros y de una distribuci´ on normal por el
m´ etodo de m´ axima verosimilitud son
n
1 X
O D X i ;
n
iD1
n
1 X 2
2
y O D .X i O / :
n
iD1
EJEMPLO 2.36. Este ejemplo tiene el objetivo de mostrar que el procedimiento de
maximizar la funci´ on de verosimilitud para encontrar el estimador m´ aximo veros´ ımil
como lo hemos presentado en los ejemplos anteriores no siempre funciona. Considere
una muestra aleatoria X 1 ; : : : ; X n de una distribuci´ on uniforme en el intervalo Œ0; ,
es decir, la funci´ on de densidad es f .x/ D 1=, para 0 x , en donde > 0
n
es el par´ ametro a estimar. La funci´ on de verosimilitud es entonces L./ D 1= ,
para x 1 ; : : : ; x n . Es f´ acil verificar que la funci´ on L./ no tiene un m´ aximo en
el intervalo .0; 1/. ¿Qu´ e hacer en este caso? Con base en el argumento intuitivo
O
sugerido en la Figura 2.8, puede proponerse como estimador a la estad´ ıstica D
mKaxfX 1 ; : : : ; X n g.

0 x 3 x 1 x 2
FIGURA 2.8

Insesgamiento
O
Puesto que un estimador es una variable aleatoria que se utiliza para estimar el
O
par´ ametro , es interesante saber si el valor promedio de es . Esta ser´ ıa una buena
propiedad para un estimador y es lo que motiva la siguiente definici´ on.
O
DEFINICI ´ ON 2.37. Un estimador del par´ ametro es insesgado si
O
E./ D :

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