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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 114 — #118
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114 2. ESTAD ´ ISTICA

en donde > 0 es un par´ ametro. Usaremos el m´ etodo de momentos para estimar
este par´ ametro. Puede demostrar que E.X/ D =.1 C /. Igualando este promedio
N
poblacional con el promedio muestral X se tiene la ecuaci´ on

N
D X;
1 C
de donde se obtiene el estimador
X N
O
N
D ; X ¤ 1:
1 X N
EJEMPLO 2.31 (Estimaci´ on de dos par´ ametros). Nuevamente estimaremos los
2
par´ ametros y de una distribuci´ on normal. Esta vez usaremos el m´ etodo de momen-
tos. Como necesitamos estimar dos par´ ametros usamos los dos primeros momentos. El
2
2
2
primer y segundo momento poblacionales son E.X/ D y E.X / D C , res-
1 P n 1 P n 2
pectivamente. El primer y segundo momento muestrales son x i y x ,
n iD1 n iD1 i
respectivamente. La igualaci´ on respectiva produce el sistema de ecuaciones
n
1 X
D x i ;
n
iD1
n
1 X 2
2
2
C D x :
i
n
iD1
La primera ecuaci´ on es expl´ ıcita mientras que la segunda ecuaci´ on se puede reescribir
como sigue
n n n n
1 X 2 2 1 X 2 1 X 2 1 X 2
2
D x i D x i . x i / D .x i / :
n n n n
iD1 iD1 iD1 iD1
En este caso los estimadores por el m´ etodo de momentos coinciden con los estimadores
m´ aximo veros´ ımiles.
M´ etodo de m´ axima verosimilitud
Este m´ etodo fue ampliamente popularizado a trav´ es de los trabajos que public´ o el
estad´ ıstico y genetista ingl´ es Ronald Aylmer Fisher durante la segunda d´ ecada del siglo
XX, aunque la idea fundamental del m´ etodo hab´ ıa sido usada con anterioridad por
algunos matem´ aticos importantes como Gauss y Laplace. Explicaremos a continuaci´ on
el m´ etodo. Sea X 1 ; : : : ; X n una muestra aleatoria de una poblaci´ on con funci´ on de
densidad f .xI /. Esto significa que todas las variables de la muestra aleatoria tienen
funci´ on de densidad f .x/ que depende de un par´ ametro desconocido .
DEFINICI ´ ON 2.32. La funci´ on de verosimilitud de una muestra aleatoria
X 1 ; : : : ; X n , denotada por L./, se define como la funci´ on de densidad conjunta

.x 1 ; : : : ; x n I /:
L./ D f X 1 ;:::;X n

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