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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 113 — #117
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6. ESTIMACI ´ ON PUNTUAL 113

el par´ ametro desconocido tomando como elementos una serie de observaciones de la
variable aleatoria.

DEFINICI ´ ON 2.28. Un estimador puntual para el par´ ametro es una funci´ on de
una muestra aleatoria X 1 ; : : : ; X n que se usa para estimar .
O
A un estimador del par´ ametro se le denota regularmente por (se lee “teta
circunflejo”). Observe que un estimador puntual es una estad´ ıstica y puede escribir-
O
O
se como D .X 1 ; : : : ; X n /. Veremos a continuaci´ on dos m´ etodos para encontrar
estimadores puntuales.
M´ etodo de momentos

Este m´ etodo fue introducido por el estad´ ıstico ingl´ es Karl Pearson (n´ e Carl Pearson)
a principios del siglo XX. Sea nuevamente f .xI / la funci´ on de densidad de una
variable aleatoria X que depende de un par´ ametro desconocido . Recordemos que el
k-´ esimo momento poblacional de X es el n´ umero
k
E.X /; k D 1; 2; : : :
cuando esta esperanza existe. Ahora, dada una muestra aleatoria X 1 ; : : : ; X n de esta
distribuci´ on, se define el k-´ esimo momento muestral como
n
1 X k
X ; k D 1; 2; : : :
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n
iD1
El m´ etodo de momentos para estimar el par´ ametro es muy sencillo: consiste en
igualar los momentos muestrales con los correspondientes momentos poblacionales,
y resolver esta ecuaci´ on o sistema de ecuaciones para el par´ ametro cuando ello sea
posible. Veamos algunos ejemplos.

EJEMPLO 2.29 (Estimaci´ on de un par´ ametro). Sea X 1 ; X 2 ; : : : ; X n una muestra
aleatoria de la distribuci´ on Ber.p/. La estimaci´ on del par´ ametro p por el m´ etodo de
momentos consiste en igualar el primer momento poblacional (o primer momento de la
N
distribuci´ on) p con el primer momento muestral dado por X. Esta igualaci´ on produce
directamente la respuesta:
N
O p D X:
El par´ ametro desconocido p puede representar la probabilidad de una de las caras
en una moneda, o la proporci´ on de votantes a favor de una preferencia electoral, o la
proporci´ on de art´ ıculos defectuosos producidos por una determinada maquinaria, entre
otras varias situaciones.
EJEMPLO 2.30 (Estimaci´ on de un par´ ametro). Considere una variable aleatoria
continua X con funci´ on de densidad
1
x si 0 x 1;
f .x/ D
0 otro caso,

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