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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 112 — #116
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112 2. ESTAD ´ ISTICA

EJEMPLO 2.24. Sean X 1 ; : : : ; X n y Y 1 ; : : : ; Y n dos muestras aleatorias del mis-
mo tama˜ no aunque no necesariamente con la misma distribuci´ on. El coeficiente de
correlaci´ on muestral se define como
S XY
R.X; Y / D p :
S XX S Y Y
EJEMPLO 2.25. Sea X 1 ; : : : ; X n una muestra aleatoria. Las siguientes variables
aleatorias son ejemplos de estad´ ısticas:
a) X .n/ D mKax fX 1 ; : : : ; X n g.
b) X .1/ D mKın fX 1 ; : : : ; X n g.
c) X D X .n/ X .1/ .

6. Estimaci´ on puntual
Sea X una variable aleatoria de inter´ es en un experimento aleatorio y suponga que X
tiene una distribuci´ on de probabilidad con funci´ on de densidad f .xI /, en donde es el
par´ ametro o el conjunto de par´ ametros de la distribuci´ on. En esta nueva notaci´ on se hace
´ enfasis en que la distribuci´ on depende de un par´ ametro denotado gen´ ericamente por la
letra griega y el cual consideraremos desconocido. Por ejemplo, si la distribuci´ on es
2
exp./, entonces representa el par´ ametro , si la distribuci´ on es N.; /, entonces
2
representa el vector de par´ ametros .; /. El problema de estimaci´ on puntual consiste
en encontrar un n´ umero, con base en una serie de observaciones de la variable aleatoria,
que sirva como estimaci´ on del par´ ametro desconocido . Ilustraremos el problema con
un par de ejemplos.
EJEMPLO 2.26. Se desea conocer la calidad de un lote de mil art´ ıculos. Dada
la imposibilidad de someter a prueba a todos ellos, se escogen 20 art´ ıculos al azar
obteni´ endose los siguientes resultados:
0; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0;
en donde cero indica que el art´ ıculo no pas´ o el control de calidad y uno indica que
el art´ ıculo pas´ o el control de calidad. Suponga que X es la variable que indica si un
art´ ıculo escogido al azar de la poblaci´ on completa pasa o no pasa el control de calidad.
Entonces X tiene una distribuci´ on Ber.p/, en donde el par´ ametro p es desconocido.
¿C´ omo podr´ ıa estimarse el verdadero valor de p con base en los datos de la muestra?
EJEMPLO 2.27. El tiempo en minutos que un conjunto de 10 empleados escogidos
al azar invierte en trasladarse de la casa al lugar de trabajo es: 30, 70, 65, 10, 25, 15, 5,
50, 20, 15. Suponga que tal variable puede modelarse mediante la distribuci´ on exp./.
¿C´ omo podr´ ıa estimarse el valor de con base en las observaciones realizadas?
De esta forma, habiendo supuesto una distribuci´ on de probabilidad para una
variable aleatoria de inter´ es en donde la distribuci´ on depende de un par´ ametro no
especificado en su valor, el problema consiste en encontrar un mecanismo para estimar

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