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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 111 — #115
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5. MUESTRAS ALEATORIAS Y ESTAD ´ ISTICAS 111

5. Muestras aleatorias y estad´ ısticas
En la teor´ ıa estad´ ıstica que desarrollaremos en esta parte del texto no consideraremos
muestras particulares de datos num´ ericos x 1 ; : : : ; x n , sino conjuntos de variables
aleatorias X 1 ; : : : ; X n . Estas variables aleatorias pueden, en particular, tomar los valores
num´ ericos mencionados. De esta manera y de forma general, estaremos considerando
cualesquiera resultados que se puedan obtener al llevar a cabo un proceso de muestreo
bajo algunas hip´ otesis adicionales que mencionaremos a continuaci´ on.

DEFINICI ´ ON 2.19. Una muestra aleatoria (escribimos simplemente m.a.) es una
colecci´ on de variables aleatorias X 1 ; : : : ; X n que son independientes e id´ enticamente
distribuidas.
De este modo, cuando se diga, por ejemplo, que una muestra aleatoria es tomada
2
de una poblaci´ on normal con media y varianza , ello significa que las variables
aleatorias que forman la m.a. son independientes entre s´ ı, y todas ellas tienen la misma
distribuci´ on normal con los mismos par´ ametros. Una muestra aleatoria constituye el
elemento b´ asico para llevar a cabo inferencias estad´ ısticas.
DEFINICI ´ ON 2.20. Una estad´ ıstica es una funci´ on cualquiera de una muestra
aleatoria X 1 ; : : : ; X n , que no depende de par´ ametros desconocidos. Por lo tanto, una
estad´ ıstica es una variable aleatoria.
Veremos a continuaci´ on algunos ejemplos de estad´ ısticas que ser´ an usados con
frecuencia m´ as adelante.
N
EJEMPLO 2.21. Considere una muestra aleatoria X 1 ; : : : ; X n . La funci´ on X defi-
nida como aparece abajo es un ejemplo de una estad´ ıstica, y se le conoce con el nombre
de media muestral.
n
1 X
N
X D X i ;
n
iD1
2
EJEMPLO 2.22. La varianza muestral, denotada por S , es otro ejemplo de una
estad´ ıstica pues es una funci´ on de una muestra aleatoria definida de la forma siguiente:
n
1 X
N 2
2
S D .X i X/ :
n 1
iD1
EJEMPLO 2.23. Sean X 1 ; : : : ; X n y Y 1 ; : : : ; Y n dos muestras aleatorias del mismo
tama˜ no aunque no necesariamente con la misma distribuci´ on. La covarianza muestral
se define como
n
1 X
N
N
S XY D .X i X/ .Y i Y /:
n 1
iD1
En particular,
n
1 X
N 2
2
S XX D S D .X i X/ :
X
n 1
iD1
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